$(x^2 - x + \frac{1}{x})^8$ の展開式における $x^8$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x^2 - x + \frac{1}{x})^8$ の展開式における $x^8$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$(x^2 - x + \frac{1}{x})^8$の展開式における一般項は、多項定理により

$$\frac{8!}{p!q!r!} (x^2)^p (-x)^q (\frac{1}{x})^r = \frac{8!}{p!q!r!} (-1)^q x^{2p+q-r}$$

ここで、 $p$, $q$, $r$ は非負整数であり、$p+q+r=8$ を満たします。

$x^8$ の係数を求めたいので、

$$2p + q - r = 8$$

$$p + q + r = 8$$

この2式から $r$ を消去すると、

$$2p + q - (8 - p - q) = 8$$

$$3p + 2q = 16$$

$p$ と $q$ は非負整数なので、この式を満たす $(p, q)$ の組み合わせを探します。

$2q = 16 - 3p$ より、$16-3p$ は偶数である必要があります。したがって、$3p$ も偶数である必要があるので、$p$ は偶数でなければなりません。

$p=0$ のとき、$2q = 16$ より $q = 8$。このとき $r = 8 - p - q = 8 - 0 - 8 = 0$。

$p=2$ のとき、$2q = 16 - 6 = 10$ より $q = 5$。このとき $r = 8 - p - q = 8 - 2 - 5 = 1$。

$p=4$ のとき、$2q = 16 - 12 = 4$ より $q = 2$。このとき $r = 8 - p - q = 8 - 4 - 2 = 2$。

$p=6$ は $2q=16-18=-2$となり、$q$が負の数になってしまうので不適。

よって、$(p, q, r) = (0, 8, 0), (2, 5, 1), (4, 2, 2)$ の3つの組み合わせが考えられます。

それぞれの係数を計算します。

$(p, q, r) = (0, 8, 0)$ のとき：

$$\frac{8!}{0!8!0!} (-1)^8 = 1 \cdot 1 = 1$$

$(p, q, r) = (2, 5, 1)$ のとき：

$$\frac{8!}{2!5!1!} (-1)^5 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{2 \cdot 1 \cdot 1} (-1) = 8 \cdot 7 \cdot 3 (-1) = -168$$

$(p, q, r) = (4, 2, 2)$ のとき：

$$\frac{8!}{4!2!2!} (-1)^2 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2 \cdot 2} = 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 420$$

したがって、$x^8$ の係数は $1 - 168 + 420 = 253$。

3. 最終的な答え

253

番号は3