与えられた4つの2次方程式を解の公式を用いて解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの2次方程式を解の公式を用いて解きます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられます。それぞれの問題にこの公式を適用します。

(1) $3x^2 - 7x - 1 = 0$ の場合：

$a=3$, $b=-7$, $c=-1$ なので、

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 12}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{6}$

(2) $x^2 - 6x - 4 = 0$ の場合：

$a=1$, $b=-6$, $c=-4$ なので、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 3 \pm \sqrt{13}$

(3) $5x^2 - x + 1 = 0$ の場合：

$a=5$, $b=-1$, $c=1$ なので、

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(5)(1)}}{2(5)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{-19}}{10} = \frac{1 \pm i\sqrt{19}}{10}$

(4) $x^2 + x + 1 = 0$ の場合：

$a=1$, $b=1$, $c=1$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{6}$

(2) $x = 3 \pm \sqrt{13}$

(3) $x = \frac{1 \pm i\sqrt{19}}{10}$

(4) $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$