数列 $a_n = \frac{1}{n} \left( \sqrt{\frac{1}{n}} + \sqrt{\frac{2}{n}} + \dots + \sqrt{\frac{n}{n}} \right)$ の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_n = \frac{1}{n} \left( \sqrt{\frac{1}{n}} + \sqrt{\frac{2}{n}} + \dots + \sqrt{\frac{n}{n}} \right)$ の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、リーマン積分を用いて解くことができます。

数列の極限を求める式を以下のように書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}}$

ここで、$f(x) = \sqrt{x}$ とおくと、これはリーマン積分の定義そのものです。つまり、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}} = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx$

積分を実行します。

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx = \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} (1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$