次の計算をしなさい。 (1) $\frac{21}{\sqrt{7}} - \sqrt{175}$ (2) $\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ (3) $4\sqrt{24} - \sqrt{\frac{3}{2}}$ (4) $2\sqrt{40} - \frac{8}{\sqrt{10}} - \sqrt{\frac{5}{2}}$

1. 問題の内容

次の計算をしなさい。

(1) $\frac{21}{\sqrt{7}} - \sqrt{175}$

(2) $\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $4\sqrt{24} - \sqrt{\frac{3}{2}}$

(4) $2\sqrt{40} - \frac{8}{\sqrt{10}} - \sqrt{\frac{5}{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{21}{\sqrt{7}} - \sqrt{175}$

まず、$\frac{21}{\sqrt{7}}$ を有理化します。

$\frac{21}{\sqrt{7}} = \frac{21 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{21\sqrt{7}}{7} = 3\sqrt{7}$

次に、$\sqrt{175}$ を簡単にします。

$\sqrt{175} = \sqrt{25 \times 7} = \sqrt{25} \times \sqrt{7} = 5\sqrt{7}$

したがって、$3\sqrt{7} - 5\sqrt{7} = -2\sqrt{7}$

(2) $\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

まず、$\frac{1}{3\sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

したがって、$\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) $4\sqrt{24} - \sqrt{\frac{3}{2}}$

まず、$\sqrt{24}$ を簡単にします。

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

したがって、$4\sqrt{24} = 4 \times 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$

次に、$\sqrt{\frac{3}{2}}$ を有理化します。

$\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

したがって、$8\sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{16\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{15\sqrt{6}}{2}$

(4) $2\sqrt{40} - \frac{8}{\sqrt{10}} - \sqrt{\frac{5}{2}}$

まず、$\sqrt{40}$ を簡単にします。

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = \sqrt{4} \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

したがって、$2\sqrt{40} = 2 \times 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10}$

次に、$\frac{8}{\sqrt{10}}$ を有理化します。

$\frac{8}{\sqrt{10}} = \frac{8 \times \sqrt{10}}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \frac{8\sqrt{10}}{10} = \frac{4\sqrt{10}}{5}$

次に、$\sqrt{\frac{5}{2}}$ を有理化します。

$\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

したがって、$4\sqrt{10} - \frac{4\sqrt{10}}{5} - \frac{\sqrt{10}}{2}$

$4\sqrt{10} - \frac{4\sqrt{10}}{5} - \frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{40\sqrt{10}}{10} - \frac{8\sqrt{10}}{10} - \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{40\sqrt{10} - 8\sqrt{10} - 5\sqrt{10}}{10} = \frac{27\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $-2\sqrt{7}$

(2) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) $\frac{15\sqrt{6}}{2}$

(4) $\frac{27\sqrt{10}}{10}$