関数 $y = -|x-2| + 3$ について、 (1) グラフを描き、 (2) $-1 \le x \le 3$ に対する値域を求め、 (3) $a < 2 < b$ を満たす定数 $a, b$ について、$a \le x \le b$ に対する値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ の値を求める。

はい、この問題について解説します。

1. 問題の内容

関数 $y = -|x-2| + 3$ について、

(1) グラフを描き、

(2) $-1 \le x \le 3$ に対する値域を求め、

(3) $a < 2 < b$ を満たす定数 $a, b$ について、$a \le x \le b$ に対する値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフを描く。

絶対値を含む関数なので、場合分けをして考える。

$x \ge 2$ のとき、$y = -(x-2) + 3 = -x + 5$

$x < 2$ のとき、$y = -(-(x-2)) + 3 = x - 2 + 3 = x + 1$

したがって、

$y = \begin{cases} -x + 5 & (x \ge 2) \\ x + 1 & (x < 2) \end{cases}$

グラフは、$x = 2$ で折れ曲がるV字型のグラフになり、頂点は$(2, 3)$である。

(2) $-1 \le x \le 3$ における値域を求める。

$x = -1$ のとき、$y = -1 + 1 = 0$

$x = 2$ のとき、$y = -2 + 5 = 3$ (頂点)

$x = 3$ のとき、$y = -3 + 5 = 2$

$-1 \le x \le 3$ におけるグラフは、$x = -1$ で $y = 0$, $x = 2$ で $y = 3$, $x = 3$ で $y = 2$ となる。

グラフの形状から、$x = 2$ で最大値 $3$ をとり、$x = -1$ で最小値 $0$ をとる。

したがって、値域は $0 \le y \le 3$ である。

(3) $a < 2 < b$ で、$a \le x \le b$ のとき $2-a \le y \le b$ となる $a, b$ を求める。

まず、$y$ の最大値は $x = 2$ のとき $y = 3$ である。したがって、$b = 3$ である。

次に、$a \le x \le b$ のとき、$y$ の最小値は $2 - a$ である。

$y = -|x - 2| + 3$ について考える。$b = 3$ なので、$a \le x \le 3$ である。

$a < 2$ であるから、$a$ は $x < 2$ の範囲に含まれる。

$x = a$ のとき $y = a + 1$ である。これが最小値 $2 - a$ となる。

$a + 1 = 2 - a$ より、$2a = 1$, $a = \frac{1}{2}$

したがって、$a = \frac{1}{2}$ かつ $b = 3$ である。

$a < 2 < b$ を満たし、$\frac{1}{2} < 2 < 3$ である。

$a \le x \le b$ で、$\frac{1}{2} \le x \le 3$ であるとき、

$x = \frac{1}{2}$ で $y = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

$x = 2$ で $y = 3$

$x = 3$ で $y = 2$

値域は $\frac{3}{2} \le y \le 3$ である。

$2 - a = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$b = 3$

確かに、$2 - a \le y \le b$ となる。

3. 最終的な答え

(1) グラフは上記参照。

(2) $0 \le y \le 3$

(3) $a = \frac{1}{2}$, $b = 3$