問題は以下の2つのパートに分かれています。 パート1は、与えられた平行四辺形$ABCD$において、ベクトルの内積を求める問題です。 パート2は、与えられたベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$について、内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を計算する問題です。 パート3は、$|\vec{a}| = 3$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$のとき、$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は以下の2つのパートに分かれています。

パート1は、与えられた平行四辺形$ABCD$において、ベクトルの内積を求める問題です。

パート2は、与えられたベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$について、内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を計算する問題です。

パート3は、$|\vec{a}| = 3$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$のとき、$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

パート1：平行四辺形の内積

(ア) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$：

$\vec{AB} = (2, 0)$、$\vec{AC}$の長さは余弦定理より $AC = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cos(30^\circ)} = \sqrt{4 + 3 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{7-6} = 1$。

$\angle BAC = 30^\circ$なので、$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}|\cos 30^\circ = 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

(イ) $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$：

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}||\vec{CB}| \cos \angle ACB = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 120^\circ = \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

(ウ) $\vec{BC} \cdot \vec{CD}$：

$\vec{BC} \cdot \vec{CD} = |\vec{BC}||\vec{CD}| \cos \angle BCD = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$.

(エ) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$：

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}||\vec{BC}| \cos \angle ABC = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$.

パート2：ベクトルの内積

(ア) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10$.

(イ) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(5) + (3)(4) = -10 + 12 = 2$.

(ウ) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (7)(-3) + (3)(7) = -21 + 21 = 0$.

(エ) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-\sqrt{3}) + (\sqrt{3})(1) = -3\sqrt{3} + \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.

(オ) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-4) + (5)(1) = -12 + 5 = -7$.

パート3：ベクトルの計算

$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

$|\vec{a}| = 3$、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$を代入すると、

$3^2 - 3(-2) = 9 + 6 = 15$.

3. 最終的な答え

(1): [$\sqrt{3}$]

(2): [$-\frac{\sqrt{3}}{2}$]

(3): [$\sqrt{3}$]

(4): [$\sqrt{3}$]

(5): [10]

(6): [2]

(7): [0]

(8): [-2]

(9): [3]

(10): [-7]

(11): [15]