$\vec{a}$ の絶対値が3、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ のとき、$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\vec{a}$ の絶対値が3、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ のとき、$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$ を分配法則を用いて展開します。

$$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 3(\vec{a} \cdot \vec{b})$$

$\vec{a} \cdot \vec{a}$ は $|\vec{a}|^2$ と同じなので、 $|\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$ となります。

$$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 9$$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ なので、 $-3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -3(-2) = 6$ となります。

$$-3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -3 \times (-2) = 6$$

よって、$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = 9 + 6 = 15$ となります。

$$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = 9 + 6 = 15$$

3. 最終的な答え

15