奇数の列を、第1群に1個、第2群に2個、第3群に4個、第4群に8個、...というように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。 (2) 第 $n$ 群に含まれる奇数の和を求める。

1. 問題の内容

奇数の列を、第1群に1個、第2群に2個、第3群に4個、第4群に8個、...というように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。

(2) 第 $n$ 群に含まれる奇数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。

- 第 $n$ 群の最初の奇数は、奇数列の第何項目かを考える。

- 第 $n$ 群の最初の項は、第 $1$ 群から第 $n-1$ 群までの項数の合計に1を加えたものとなる。

- 第 $k$ 群には $2^{k-1}$ 個の項が含まれる。

- 第 $1$ 群から第 $n-1$ 群までの項数の合計は、等比数列の和の公式を用いて、

$2^{0} + 2^{1} + ... + 2^{n-2} = \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

- よって、第 $n$ 群の最初の項は奇数列の第 $2^{n-1}$ 項目である。

- 奇数列の第 $m$ 項目は $2m-1$ で表される。

- したがって、第 $n$ 群の最初の奇数は $2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 2^{n} - 1$ となる。

(2) 第 $n$ 群に含まれる奇数の和を求める。

- 第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の奇数が含まれる。

- 第 $n$ 群の最初の奇数は $2^{n} - 1$ である。

- 奇数列は等差数列であり、公差は2である。

- したがって、第 $n$ 群に含まれる奇数の列は、初項 $2^{n} - 1$、公差 $2$、項数 $2^{n-1}$ の等差数列である。

- 等差数列の和の公式 $S_m = \frac{m}{2}(2a + (m-1)d)$ を用いる。ここで、$m$ は項数、$a$ は初項、$d$ は公差である。

- よって、第 $n$ 群に含まれる奇数の和は、

$S_{2^{n-1}} = \frac{2^{n-1}}{2}(2(2^{n} - 1) + (2^{n-1}-1)2) = 2^{n-2}(2^{n+1} - 2 + 2^{n} - 2) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n} - 4) = 3 \cdot 2^{2n-2} - 2^{n}$

- これは $2^{2n-2}$ でくくると、$2^{2n-2}(3-2^{2-n})$

- また、別の計算方法として

初項 $2^n-1$、末項 $2^n-1 + 2(2^{n-1}-1) = 2^n - 1 + 2^n - 2 = 2^{n+1} - 3$

項数 $2^{n-1}$ なので

$\frac{2^{n-1}}{2} [(2^n-1) + (2^{n+1}-3)] = 2^{n-2} (3*2^n - 4) = 3*2^{2n-2} - 2^n$

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数: $2^{n} - 1$

(2) 第 $n$ 群に含まれる奇数の和: $3 \cdot 2^{2n-2} - 2^{n}$