与えられた不定方程式 $34x + 29y = 4$ の整数解を、パラメータ $k$ を用いて表す形式を選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

与えられた不定方程式 $34x + 29y = 4$ の整数解を、パラメータ $k$ を用いて表す形式を選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、$34x + 29y = 4$ の特殊解を一つ見つけます。

$34$ と $29$ の係数に注目し、ユークリッドの互除法を使って $34x + 29y = 1$ の整数解を見つけます。

$34 = 29 \cdot 1 + 5$

$29 = 5 \cdot 5 + 4$

$5 = 4 \cdot 1 + 1$

これらの式を変形して、

$5 = 34 - 29 \cdot 1$

$4 = 29 - 5 \cdot 5$

$1 = 5 - 4 \cdot 1$

$1 = 5 - (29 - 5 \cdot 5) = 5 \cdot 6 - 29 = (34 - 29) \cdot 6 - 29 = 34 \cdot 6 - 29 \cdot 7$

したがって、$34 \cdot 6 + 29 \cdot (-7) = 1$ という関係が得られます。

この式の両辺に $4$ をかけると、

$34 \cdot 24 + 29 \cdot (-28) = 4$

よって、$34x + 29y = 4$ の特殊解の一つは $(x, y) = (24, -28)$ であることがわかります。

次に、一般解を求めます。

$34x + 29y = 4$ と $34 \cdot 24 + 29 \cdot (-28) = 4$ の差をとると、

$34(x - 24) + 29(y + 28) = 0$

$34(x - 24) = -29(y + 28)$

$34$ と $29$ は互いに素なので、$x - 24 = 29k$, $y + 28 = -34k$ (kは整数) と表せます。

したがって、$x = 29k + 24$, $y = -34k - 28$ となります。

3. 最終的な答え

(x, y) = (29k + 24, -34k - 28)

選択肢Bが正解です。