数列 $1 \cdot (2n-1), 3 \cdot (2n-3), 5 \cdot (2n-5), \dots , (2n-3) \cdot 3, (2n-1) \cdot 1$ の第k項 $a_k$ ($k \le n$) と和 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot (2n-1), 3 \cdot (2n-3), 5 \cdot (2n-5), \dots , (2n-3) \cdot 3, (2n-1) \cdot 1$ の第k項 $a_k$ ($k \le n$) と和 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

数列の一般項を $a_k$ とします。

$a_k$ は、奇数の数列 $1, 3, 5, \dots$ と、$2n-1, 2n-3, 2n-5, \dots$ の積で表されています。

奇数の数列の第k項は $2k-1$ です。

$2n-1, 2n-3, 2n-5, \dots$ の第k項は $2n - (2k - 1) = 2n - 2k + 1$ です。

したがって、$a_k$ は次のように表されます。

$a_k = (2k-1)(2n-2k+1)$

数列の和 $S$ は、$\sum_{k=1}^{n} a_k$ で表されます。

$S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n-2k+1)$

$S = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 2k - 2n + 2k - 1)$

$S = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 4k - 2n - 1)$

$S = 4n\sum_{k=1}^{n} k - 4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k - (2n+1)\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を用いて、

$S = 4n \frac{n(n+1)}{2} - 4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \frac{n(n+1)}{2} - (2n+1)n$

$S = 2n^2(n+1) - \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + 2n(n+1) - 2n^2 - n$

$S = 2n^3 + 2n^2 - \frac{2n(2n^2+3n+1)}{3} + 2n^2 + 2n - 2n^2 - n$

$S = 2n^3 + 2n^2 - \frac{4n^3+6n^2+2n}{3} + n$

$S = \frac{6n^3 + 6n^2 - 4n^3 - 6n^2 - 2n + 3n}{3}$

$S = \frac{2n^3 + n}{3}$

$S = \frac{n(2n^2+1)}{3}$

3. 最終的な答え

第k項: $a_k = (2k-1)(2n-2k+1)$

和: $S = \frac{n(2n^2+1)}{3}$