同じ次数の正方行列 $A$ と $B$ に対して、 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ が成り立つための条件を求める。

1. 問題の内容

同じ次数の正方行列 $A$ と $B$ に対して、 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ が成り立つための条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(A+B)(A-B)$ を展開する。

$(A+B)(A-B) = A(A-B) + B(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$

したがって、

$A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$

となるための条件を求める。

両辺から $A^2 - B^2$ を引くと、

$-AB + BA = 0$

したがって、

$BA = AB$

すなわち、$A$ と $B$ が可換であることが条件となる。

3. 最終的な答え

$AB = BA$

すなわち、行列 $A$ と $B$ が可換であること。