与えられた数列の第 $k$ 項 $a_k$ ($k \le n$) と、数列の和 $S$ を求めます。数列は次のようになります。 $1(2n-1), 3(2n-3), 5(2n-5), \dots, (2n-3)3, (2n-1)1$

1. 問題の内容

与えられた数列の第 $k$ 項 $a_k$ ($k \le n$) と、数列の和 $S$ を求めます。数列は次のようになります。

$1(2n-1), 3(2n-3), 5(2n-5), \dots, (2n-3)3, (2n-1)1$

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項 $a_k$ を求めます。数列の各項は、奇数と$(2n - 奇数)$の積で表されています。

第 $k$ 項の奇数は、$2k-1$ です。

第 $k$ 項の $(2n - 奇数)$ は、$2n - (2k-1)$ となります。

したがって、$a_k = (2k-1)(2n - (2k-1)) = (2k-1)(2n - 2k + 1)$ となります。

次に、数列の和 $S = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求めます。

$S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n - 2k + 1)$

$S = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 2k - 2n + 2k - 1)$

$S = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 4k - 2n - 1)$

$S = 4n \sum_{k=1}^{n} k - 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} (2n + 1)$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ であることを利用します。

$S = 4n \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - (2n+1)n$

$S = 2n^2(n+1) - \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + 2n(n+1) - (2n^2 + n)$

$S = 2n^3 + 2n^2 - \frac{2n(2n^2 + 3n + 1)}{3} + 2n^2 + 2n - 2n^2 - n$

$S = 2n^3 + 2n^2 - \frac{4n^3 + 6n^2 + 2n}{3} + n$

$S = \frac{6n^3 + 6n^2 - 4n^3 - 6n^2 - 2n + 3n}{3}$

$S = \frac{2n^3 + n}{3}$

$S = \frac{n(2n^2 + 1)}{3}$

3. 最終的な答え

$a_k = (2k-1)(2n-2k+1)$

$S = \frac{n(2n^2+1)}{3}$