問題1：4次元空間において、原点からの方向が$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$であり、原点からの距離が3である点を求めよ。 問題3：平面上の3点$O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$がある。点Qから直線OPに垂線を下ろした交点をDとする。Dの座標を内積を使って計算せよ。

1. 問題の内容

問題1：4次元空間において、原点からの方向が$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$であり、原点からの距離が3である点を求めよ。

問題3：平面上の3点$O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$がある。点Qから直線OPに垂線を下ろした交点をDとする。Dの座標を内積を使って計算せよ。

2. 解き方の手順

問題1：

与えられた方向ベクトルを$\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$とする。

まず、このベクトルを正規化する。

$\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 0 + 4} = \sqrt{9} = 3$

よって、単位ベクトルは $\vec{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ 0 \\ -2/3 \end{pmatrix}$

原点からの距離が3である点$\vec{x}$は、$\vec{x} = 3\vec{u}$で与えられる。

$\vec{x} = 3 \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \\ 0 \\ -2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

問題3：

点Dは直線OP上にあるので、$D = kP$と表せる。ここで、$k$は実数である。

$\vec{OD} = k \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3k \\ k \end{pmatrix}$

$\vec{QD}$と$\vec{OP}$は直交するので、内積が0となる。

$\vec{QD} = \vec{OD} - \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 3k \\ k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3k - 1 \\ k - 4 \end{pmatrix}$

$\vec{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec{QD} \cdot \vec{OP} = 0$

$\begin{pmatrix} 3k - 1 \\ k - 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = (3k - 1) \cdot 3 + (k - 4) \cdot 1 = 0$

$9k - 3 + k - 4 = 0$

$10k - 7 = 0$

$10k = 7$

$k = \frac{7}{10}$

よって、$D = \frac{7}{10} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21/10 \\ 7/10 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

問題1：$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

問題3：$\begin{pmatrix} 21/10 \\ 7/10 \end{pmatrix}$