4点A(4,-2,5), B(-3,4,-4), C(1,2,4), D(x+1,-4,x)が同一平面上にあるようなxの値を求め、(21)に当てはまる数字を答える問題です。

1. 問題の内容

4点A(4,-2,5), B(-3,4,-4), C(1,2,4), D(x+1,-4,x)が同一平面上にあるようなxの値を求め、(21)に当てはまる数字を答える問題です。

2. 解き方の手順

4点が同一平面上にある条件は、空間ベクトルを用いて考えます。

まず、ベクトル$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$を求めます。

$\overrightarrow{AB} = (-3-4, 4-(-2), -4-5) = (-7, 6, -9)$

$\overrightarrow{AC} = (1-4, 2-(-2), 4-5) = (-3, 4, -1)$

$\overrightarrow{AD} = (x+1-4, -4-(-2), x-5) = (x-3, -2, x-5)$

4点A, B, C, Dが同一平面上にあるとき、$\overrightarrow{AD}$は$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の線形結合で表すことができます。つまり、実数s, tが存在して、

$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

が成り立ちます。成分ごとに書くと、

$x-3 = -7s - 3t$

$-2 = 6s + 4t$

$x-5 = -9s - t$

2番目の式から、

$6s + 4t = -2$

$3s + 2t = -1$

$2t = -1 - 3s$

$t = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}s$

これを1番目の式に代入すると、

$x - 3 = -7s - 3(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}s)$

$x - 3 = -7s + \frac{3}{2} + \frac{9}{2}s$

$x - 3 = -\frac{5}{2}s + \frac{3}{2}$

$x = -\frac{5}{2}s + \frac{9}{2}$

これを3番目の式に代入すると、

$-\frac{5}{2}s + \frac{9}{2} - 5 = -9s - (-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}s)$

$-\frac{5}{2}s - \frac{1}{2} = -9s + \frac{1}{2} + \frac{3}{2}s$

$-\frac{5}{2}s - \frac{1}{2} = -\frac{15}{2}s + \frac{1}{2}$

$\frac{10}{2}s = 1$

$5s = 1$

$s = \frac{1}{5}$

したがって、$x = -\frac{5}{2}(\frac{1}{5}) + \frac{9}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{8}{2} = 4$

3. 最終的な答え

x = 4

(21): 【4】