2点 A(1, -1, -4) と B(-3, 5, 2) を直径の両端とする球の方程式を求める問題です。球の方程式の形は $\{x + (22)\}^2 + \{y - (23)\}^2 + \{z + (24)\}^2 = (25)$ と与えられており、(22)~(25)に当てはまる数字を答えます。

1. 問題の内容

2点 A(1, -1, -4) と B(-3, 5, 2) を直径の両端とする球の方程式を求める問題です。球の方程式の形は $\{x + (22)\}^2 + \{y - (23)\}^2 + \{z + (24)\}^2 = (25)$ と与えられており、(22)~(25)に当てはまる数字を答えます。

2. 解き方の手順

球の中心は、直径の両端の中点です。AとBの中点をCとすると、Cの座標は次の式で求められます。

$C = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)$

$C = \left(\frac{1 + (-3)}{2}, \frac{-1 + 5}{2}, \frac{-4 + 2}{2}\right) = (-1, 2, -1)$

球の方程式は、中心を(a, b, c)とすると、$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$ と表されます。

ここで、中心Cは(-1, 2, -1)なので、a = -1, b = 2, c = -1 です。したがって、球の方程式は次のようになります。

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 + (z - (-1))^2 = r^2$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = r^2$

問題文の形に合わせると、

$\{x + (22)\}^2 + \{y - (23)\}^2 + \{z + (24)\}^2 = (25)$

より、(22) = 1, (23) = 2, (24) = 1 であることがわかります。

次に、半径 $r$ を求めます。半径は、中心Cと点A (またはB) の間の距離です。

$r = \frac{AB}{2}$

$r^2 = \frac{AB^2}{4}$

AB間の距離の2乗は、

$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2$

$AB^2 = (-3 - 1)^2 + (5 - (-1))^2 + (2 - (-4))^2$

$AB^2 = (-4)^2 + (6)^2 + (6)^2 = 16 + 36 + 36 = 88$

したがって、$r^2 = \frac{88}{4} = 22$。　しかし、問題文の形式から中心を計算して半径の二乗を計算するよりも、ABの距離の二乗を計算して、中心からの距離の二乗の計算（半径の二乗）を行えばよい。

$r^2=CA^2 = (1-(-1))^2+(-1-2)^2+(-4-(-1))^2$

$=2^2+(-3)^2+(-3)^2=4+9+9=22$

よって、(25) = 22

3. 最終的な答え

(22) = 1

(23) = 2

(24) = 1

(25) = 22