双曲線 $x^2 - 2y^2 = 2$ と直線 $y = x + k$ が接するような定数 $k$ の値と、接点の座標を求め、空欄（(15)～(25)）に当てはまる数字を答える問題です。

1. 問題の内容

双曲線 $x^2 - 2y^2 = 2$ と直線 $y = x + k$ が接するような定数 $k$ の値と、接点の座標を求め、空欄（(15)～(25)）に当てはまる数字を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線 $y = x + k$ を双曲線 $x^2 - 2y^2 = 2$ に代入します。

$x^2 - 2(x+k)^2 = 2$

$x^2 - 2(x^2 + 2kx + k^2) = 2$

$x^2 - 2x^2 - 4kx - 2k^2 = 2$

$-x^2 - 4kx - 2k^2 - 2 = 0$

$x^2 + 4kx + 2k^2 + 2 = 0$ ... (3)

この方程式が重解を持つとき、双曲線と直線は接します。したがって、判別式 $D$ が0になる必要があります。

$D = (4k)^2 - 4(2k^2 + 2) = 0$

$16k^2 - 8k^2 - 8 = 0$

$8k^2 = 8$

$k^2 = 1$

$k = \pm 1$ のとき、直線と双曲線は接します。

まず、$x^2 + 4kx + 2k^2 + 2 = 0$ の係数に着目します。

(15): 4

(16): 2

(17): 2

(18): 4

(19): 1

(20): 1

(21): 1

$k = 1$ のとき、方程式(3)は $x^2 + 4x + 4 = 0$ となり、$(x + 2)^2 = 0$ より $x = -2$。

したがって、$y = x + k = -2 + 1 = -1$。

接点の座標は $(-2, -1)$。

$k = -1$ のとき、方程式(3)は $x^2 - 4x + 4 = 0$ となり、$(x - 2)^2 = 0$ より $x = 2$。

したがって、$y = x + k = 2 - 1 = 1$。

接点の座標は $(2, 1)$。

(22): -2

(23): -1

(24): 2

(25): 1

3. 最終的な答え

(15): 4

(16): 2

(17): 2

(18): 4

(19): 1

(20): 1

(21): 1

(22): -2

(23): -1

(24): 2

(25): 1