大人2人と子供4人が1列に並ぶときの並び方について、以下の3つの場合について場合の数を求める問題です。 (1) 大人の2人が続いて並ぶ場合 (2) 両端が子供である場合 (3) どの大人も隣り合わない場合

1. 問題の内容

大人2人と子供4人が1列に並ぶときの並び方について、以下の3つの場合について場合の数を求める問題です。

(1) 大人の2人が続いて並ぶ場合

(2) 両端が子供である場合

(3) どの大人も隣り合わない場合

2. 解き方の手順

(1) 大人2人が続いて並ぶ場合

まず、大人2人を1つのグループとして考えます。すると、子供4人と大人グループの合計5つのものを並べることになります。

5つのものの並び方は $5!$ 通りあります。

次に、大人グループの中での2人の並び方は $2!$ 通りあります。

したがって、求める並び方は $5! \times 2!$ 通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$2! = 2 \times 1 = 2$

$5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$

(2) 両端が子供である場合

まず、両端の子供の選び方を考えます。4人の子供から2人を選んで並べるので、$4P2$通りです。

$4P2 = 4 \times 3 = 12$

次に、残りの4人の並び方を考えます。大人2人と子供2人の合計4人を並べるので、$4!$通りです。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

したがって、求める並び方は $4P2 \times 4! = 12 \times 24$ 通りです。

$12 \times 24 = 288$

(3) どの大人も隣り合わない場合

まず、子供4人を並べます。これは $4!$ 通りです。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

子供4人を並べると、子供と子供の間に3つの隙間ができ、さらに両端の2つの隙間を加えて、合計5つの隙間ができます。

この5つの隙間から2つを選んで大人を配置します。これは $5P2$通りです。

$5P2 = 5 \times 4 = 20$

したがって、求める並び方は $4! \times 5P2 = 24 \times 20$ 通りです。

$24 \times 20 = 480$

3. 最終的な答え

(1) 240通り

(2) 288通り

(3) 480通り