以下の2つの極限の等式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。 (1) $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + ax + b}{x+1} = 2$ (2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + ax} - bx) = -1$

1. 問題の内容

以下の2つの極限の等式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

(1) $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + ax + b}{x+1} = 2$

(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + ax} - bx) = -1$

2. 解き方の手順

(1) について：

極限 $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + ax + b}{x+1}$ が存在するためには、分母が0に近づくとき、分子も0に近づく必要があります。つまり、$x = -1$ を分子に代入すると0になる必要があります。

$(-1)^2 + a(-1) + b = 0$

$1 - a + b = 0$

$b = a - 1$

これを元の式に代入すると、

$\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + ax + a - 1}{x+1} = 2$

分子を因数分解すると、

$\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x+a-1)}{x+1} = 2$

$x \neq -1$のとき、$(x+1)$で約分できるので、

$\displaystyle \lim_{x \to -1} (x + a - 1) = 2$

$-1 + a - 1 = 2$

$a - 2 = 2$

$a = 4$

$b = a - 1$ より、

$b = 4 - 1 = 3$

(2) について：

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + ax} - bx) = -1$

$\sqrt{4x^2 + ax} - bx = \frac{(\sqrt{4x^2 + ax} - bx)(\sqrt{4x^2 + ax} + bx)}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx} = \frac{4x^2 + ax - b^2x^2}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx} = \frac{(4-b^2)x^2 + ax}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx}$

極限が存在するためには、$x^2$ の項が0になる必要があります。したがって、$4-b^2 = 0$。

$b^2 = 4$

$b = \pm 2$

$x \to \infty$ で $\sqrt{4x^2+ax}$ は $2x$ に漸近するので、$b$ は正である必要があり、$b=2$

したがって、

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + ax} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{ax}{\sqrt{4x^2 + ax} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax}{x(\sqrt{4 + \frac{a}{x}} + 2)} = \frac{a}{\sqrt{4} + 2} = \frac{a}{4} = -1$

$a = -4$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$, $b = 3$

(2) $a = -4$, $b = 2$