奇数の列を、1個、2個、4個、8個...と群に分けて並べる。 (1) 第n群の最初の奇数を求める。 (2) 第n群に含まれる奇数の和を求める。 (3) 157が第何群の何番目の数かを求める。

1. 問題の内容

奇数の列を、1個、2個、4個、8個...と群に分けて並べる。

(1) 第n群の最初の奇数を求める。

(2) 第n群に含まれる奇数の和を求める。

(3) 157が第何群の何番目の数かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の奇数を求める。

第n群に入る奇数の個数は $2^{n-1}$個。

第n群の最初の奇数は、奇数列の第 $(1 + 2 + 4 + ... + 2^{n-2} + 1)$ 番目である。(n>=2)

$1 + 2 + 4 + ... + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

よって、第n群の最初の奇数は、奇数列の第 $2^{n-1}$ 番目である。

奇数列の第m項は $2m-1$ で表されるので、第n群の最初の奇数は、

$2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$ となる。

n=1のとき、第1群の最初の奇数は1となり、この式は成立する。

(2) 第n群に含まれる奇数の和を求める。

第n群の最初の奇数は $2^n - 1$ である。

第n群に含まれる奇数は $2^{n-1}$ 個である。

第n群の最後の奇数は、奇数列の第 $(2^{n-1} + 2^{n-1} - 1) = (2^n-1)$ 番目である。

従って、第n群の最後の奇数は、$2(2^n - 1)-1 = 2^{n+1} - 3$ となる。

第n群に含まれる奇数の和は、等差数列の和の公式を用いて、

$\frac{2^{n-1}}{2}((2^n - 1) + (2^{n+1} - 3)) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^n - 4) = 3 \cdot 2^{2n-2} - 2^n$

または、第n群の奇数の平均は、$\frac{(2^n - 1) + (2^{n+1} - 3)}{2} = \frac{3 \cdot 2^n - 4}{2} = 3 \cdot 2^{n-1} - 2$

よって、第n群に含まれる奇数の和は、$(3 \cdot 2^{n-1} - 2)2^{n-1} = 3 \cdot 2^{2n-2} - 2^n$

(3) 157は第何群の何番目の数か。

157は奇数列の何番目か、$2m-1 = 157$ より $2m = 158$ よって $m = 79$

157は奇数列の79番目。

第n群までの奇数の個数の合計が79を超えない最大のnを求める。

$\sum_{k=0}^{n-1} 2^k = 2^n - 1 < 79$

$2^n < 80$

$n < log_2 80$

$n = 6$ のとき、 $2^6 - 1 = 63$ 個

$n = 7$ のとき、$2^7 - 1 = 127$ 個

従って、157は第7群に含まれる。

第7群の最初の奇数は $2^7 - 1 = 127$ であり、これは奇数列の第64番目。

157は奇数列の79番目なので、第7群の $79-63 = 16$ 番目。

3. 最終的な答え

(1) 第n群の最初の奇数: $2^n - 1$

(2) 第n群に含まれる奇数の和: $3 \cdot 2^{2n-2} - 2^n$

(3) 157は第7群の16番目