(1) 円の中心角が$105^\circ$のとき、円周角$a$の大きさを求める。 (2) 円の中心角が$a$で、円周角に対する中心角が$70^\circ$のとき、$a$の大きさを求める。 (3) $BC // DE$であるとき、$x$と$y$の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 円の中心角が$105^\circ$のとき、円周角$a$の大きさを求める。

(2) 円の中心角が$a$で、円周角に対する中心角が$70^\circ$のとき、$a$の大きさを求める。

(3) $BC // DE$であるとき、$x$と$y$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円周角の定理より、中心角は円周角の2倍である。

よって、中心角が$105^\circ$のとき、円周角$a$は、

$a = \frac{105^\circ}{2} = 52.5^\circ$

(2)

円周角の定理より、中心角は円周角の2倍である。

円周角は$70^\circ$であるから、円周角に対応する中心角は$2 \times 70^\circ = 140^\circ$である。

円の中心角は$360^\circ$であるから、$a = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$

(3)

$\triangle ABC$と$\triangle ADE$において、$BC//DE$より、$\angle ABC = \angle ADE$, $\angle ACB = \angle AED$, $\angle BAC = \angle DAE$なので、$\triangle ABC \sim \triangle ADE$である。

よって、$AD:AB = AE:AC = DE:BC$

$AD=10$, $AB = 10+5 = 15$, $AE=8$, $AC = 8+x$, $DE=y$, $BC=12$

$10:15 = 8:(8+x) = y:12$

$10:15 = 2:3$より、

$2:3 = 8:(8+x)$

$2(8+x) = 3(8)$

$16 + 2x = 24$

$2x = 8$

$x=4$

$2:3 = y:12$

$3y = 2(12)$

$3y=24$

$y=8$

3. 最終的な答え

(1) $a = 52.5^\circ$

(2) $a = 220^\circ$

(3) $x=4, y=8$