直方体の頂点Aから頂点Bまで、最短経路を通る方法のうち、少なくとも1回内側の辺を通る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

直方体の頂点Aから頂点Bまで、最短経路を通る方法のうち、少なくとも1回内側の辺を通る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、AからBまでの最短経路の総数を求めます。

次に、内側の辺を全く通らない経路の数を求めます。

最後に、最短経路の総数から内側の辺を全く通らない経路の数を引くと、少なくとも1回内側の辺を通る経路の数が求められます。

直方体の辺の長さをそれぞれx方向、y方向、z方向とすると、AからBまでの最短経路は、x方向に3つ、y方向に2つ、z方向に1つの辺を通る経路です。したがって、最短経路の総数は、同じものを含む順列の考え方を用いて計算できます。

最短経路の総数は：

$\frac{(3+2+1)!}{3!2!1!} = \frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60$

次に、内側の辺を全く通らない経路の数を求めます。この場合、直方体の外側の辺のみを通る経路となります。

AからBまで外側の辺のみを通る経路は、直方体の表面を通る経路です。この経路は、以下の2つの経路に分けられます。

(1) Aから表面を通ってBへ行く経路で、底面を通る経路

(2) Aから表面を通ってBへ行く経路で、側面を通る経路

それぞれの経路を計算します。

(1) 底面を通る経路

底面は3x2の長方形で、最短経路は$\frac{(3+2)!}{3!2!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6\cdot2} = 10$ 通り。

(2) 側面を通る経路

側面は2x1の長方形で、最短経路は$\frac{(2+1)!}{2!1!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{6}{2\cdot1} = 3$ 通り。

したがって、内側の辺を全く通らない経路の数は $10 \times 3 = 30$通りです。

最後に、少なくとも1回内側の辺を通る経路の数は、最短経路の総数から内側の辺を全く通らない経路の数を引いて求めます。

$60 - 30 = 30$

3. 最終的な答え

30通り