3点 $(1, 1, 0)$, $(1, 2, 1)$, $(-2, 2, -1)$ を通る平面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $(1, 1, 0)$, $(1, 2, 1)$, $(-2, 2, -1)$ を通る平面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

3点を通る平面の方程式を求めるには、まず平面上の2つのベクトルを求めます。次に、これらのベクトルの外積を計算して、平面の法線ベクトルを求めます。最後に、法線ベクトルと平面上の1点を使用して、平面の方程式を構築します。

ステップ1: 平面上の2つのベクトルを求める。

点A $(1, 1, 0)$, 点B $(1, 2, 1)$, 点C $(-2, 2, -1)$ とします。

ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求めます。

$\vec{AB} = B - A = (1 - 1, 2 - 1, 1 - 0) = (0, 1, 1)$

$\vec{AC} = C - A = (-2 - 1, 2 - 1, -1 - 0) = (-3, 1, -1)$

ステップ2: 法線ベクトルを求める。

$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積を計算します。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)\vec{i} - (0 \cdot (-1) - 1 \cdot (-3))\vec{j} + (0 \cdot 1 - 1 \cdot (-3))\vec{k} = (-2, -3, 3)$

ステップ3: 平面の方程式を構築する。

平面の方程式は $ax + by + cz = d$ の形式で表されます。ここで、$(a, b, c)$ は法線ベクトルです。法線ベクトル $\vec{n} = (-2, -3, 3)$ を使用すると、平面の方程式は $-2x - 3y + 3z = d$ となります。

点A $(1, 1, 0)$ が平面上にあるので、この点を方程式に代入して $d$ を求めます。

$-2(1) - 3(1) + 3(0) = d$

$-2 - 3 = d$

$d = -5$

したがって、平面の方程式は $-2x - 3y + 3z = -5$ となります。

両辺に $-1$ を掛けて、 $2x + 3y - 3z = 5$ と表現することもできます。

3. 最終的な答え

$2x + 3y - 3z = 5$