図形の周の長さを求める問題です。図形は、直線$l$、長さが5と8の2つの円弧、長さが6の円弧、そして直線で構成されています。

幾何学円弧周の長さ図形幾何
2025/7/10

1. 問題の内容

図形の周の長さを求める問題です。図形は、直線ll、長さが5と8の2つの円弧、長さが6の円弧、そして直線で構成されています。

2. 解き方の手順

まず、図形を構成する円弧の円の中心角を考えます。
- 長さ5の円弧:直線llと接しているので、中心角はπ\piです。この円弧の半径をr1r_1とすると、5=r1π5 = r_1 \piなので、r1=5πr_1 = \frac{5}{\pi}です。
- 長さ6の円弧:直線llと平行な直線と接しているので、中心角はπ\piです。この円弧の半径をr2r_2とすると、6=r2π6 = r_2 \piなので、r2=6πr_2 = \frac{6}{\pi}です。
- 長さ8の円弧:この円弧は直線の一部であり、中心角がπ\piです。この円弧の半径をr3r_3とすると、8=r3π8 = r_3 \piなので、r3=8πr_3 = \frac{8}{\pi}です。
次に、図形の周の長さを計算します。
図形の周の長さは、5+6+8+(r1+r3)2(r3r2)2+(r1+r3)2(r3r2)25 + 6 + 8 + \sqrt{(r_1 + r_3)^2 - (r_3 - r_2)^2} + \sqrt{(r_1 + r_3)^2 - (r_3 - r_2)^2}で求められます。
r1=5πr_1 = \frac{5}{\pi}, r2=6πr_2 = \frac{6}{\pi}, r3=8πr_3 = \frac{8}{\pi}を代入します。
r1+r3=5π+8π=13πr_1 + r_3 = \frac{5}{\pi} + \frac{8}{\pi} = \frac{13}{\pi}
r3r2=8π6π=2πr_3 - r_2 = \frac{8}{\pi} - \frac{6}{\pi} = \frac{2}{\pi}
(13π)2(2π)2=1694π2=165π2=165π\sqrt{(\frac{13}{\pi})^2 - (\frac{2}{\pi})^2} = \sqrt{\frac{169 - 4}{\pi^2}} = \sqrt{\frac{165}{\pi^2}} = \frac{\sqrt{165}}{\pi}
したがって、
5+6+8+2165π=19+2165π5 + 6 + 8 + 2 \cdot \frac{\sqrt{165}}{\pi} = 19 + \frac{2\sqrt{165}}{\pi}

3. 最終的な答え

19+2165π19 + \frac{2\sqrt{165}}{\pi}

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