図のような図形を直線 $l$ を軸として回転させてできる立体の体積を求める問題です。円周率は $\pi$ とします。図形は、直線 $l$ から距離が5と8のところにそれぞれ縦の線分があり、それらの間が直線と半径6の半円で結ばれている。

1. 問題の内容

図のような図形を直線 $l$ を軸として回転させてできる立体の体積を求める問題です。円周率は $\pi$ とします。図形は、直線 $l$ から距離が5と8のところにそれぞれ縦の線分があり、それらの間が直線と半径6の半円で結ばれている。

2. 解き方の手順

この立体は、半径8の円柱から、半径5の円柱と、半径6の半球をくり抜いた形と考えることができます。

まず、半径8、高さ6の円柱の体積を求めます。体積は $V_1 = \pi \times 8^2 \times 6 = 384\pi$ です。

次に、半径5、高さ6の円柱の体積を求めます。体積は $V_2 = \pi \times 5^2 \times 6 = 150\pi$ です。

そして、半径6の半球の体積を求めます。球の体積の公式は $\frac{4}{3}\pi r^3$ なので、半球の体積は $V_3 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \times 6^3 = \frac{2}{3} \pi \times 216 = 144\pi$ です。

求める体積は、 $V_1 - V_2 - V_3$ で求められます。

$V = V_1 - V_2 - V_3 = 384\pi - 150\pi - 144\pi = (384 - 150 - 144)\pi = 90\pi$

3. 最終的な答え

$90\pi$