図のような図形を直線 $l$ を軸として回転させてできる立体の体積を求める問題です。ただし、円周率は $\pi$ とします。図には、$l$ から距離 5 のところに円弧があり、距離 8 のところにも円弧があり、それらが直線で繋がっています。また、それら円弧の間の $l$ に垂直な距離は 6 です。

1. 問題の内容

図のような図形を直線 $l$ を軸として回転させてできる立体の体積を求める問題です。ただし、円周率は $\pi$ とします。図には、$l$ から距離 5 のところに円弧があり、距離 8 のところにも円弧があり、それらが直線で繋がっています。また、それら円弧の間の $l$ に垂直な距離は 6 です。

2. 解き方の手順

この立体は、半径 8 の円柱から半径 5 の円柱をくり抜いた形と考えることができます。

まず、大きい方の円柱の体積を計算します。

これは、半径 8、高さ 6 の円柱なので、体積 $V_1$ は、

$V_1 = \pi \times 8^2 \times 6 = 384 \pi$

次に、小さい方の円柱の体積を計算します。

これは、半径 5、高さ 6 の円柱なので、体積 $V_2$ は、

$V_2 = \pi \times 5^2 \times 6 = 150 \pi$

求める体積は、大きい円柱の体積から小さい円柱の体積を引いたものです。

$V = V_1 - V_2 = 384 \pi - 150 \pi = 234 \pi$

3. 最終的な答え

$234\pi$