与えられた図形を直線 $l$ を軸として回転させたときにできる立体の体積を求めます。ただし、円周率は $\pi$ とします。図形は、直線 $l$ から距離が5と8である線分と、長さ6の線分と曲線によって囲まれています。

1. 問題の内容

与えられた図形を直線 $l$ を軸として回転させたときにできる立体の体積を求めます。ただし、円周率は $\pi$ とします。図形は、直線 $l$ から距離が5と8である線分と、長さ6の線分と曲線によって囲まれています。

2. 解き方の手順

回転体を、半径8の円柱から半径5の円柱と半径6の半球を取り除いたものと考えることができます。

まず、半径8の円柱の体積を計算します。円柱の高さは8-5=3です。

$V_1 = \pi \times 8^2 \times 3 = 192\pi$

次に、半径5の円柱の体積を計算します。円柱の高さは8-5=3です。

$V_2 = \pi \times 5^2 \times 3 = 75\pi$

次に、半径6の半球の体積を計算します。

$V_3 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \times 6^3 = \frac{2}{3} \pi \times 216 = 144\pi$

求める体積は、半径8の円柱の体積から半径5の円柱の体積と半径6の半球の体積を引いたものです。

$V = V_1 - V_2 - V_3 = 192\pi - 75\pi - 144\pi = (192 - 75 - 144)\pi = (192 - 219)\pi = -27\pi$

回転体の体積が負になることはないので、計算の仕方が間違っていることがわかります。

正しくは、回転体を半径8の円柱から半径5の円柱を取り除いたものに、半径6の半球を足したものと考えることができます。

$V_1 = \pi \times 8^2 \times 3 = 192\pi$

$V_2 = \pi \times 5^2 \times 3 = 75\pi$

$V_3 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \times 6^3 = \frac{2}{3} \pi \times 216 = 144\pi$

$V = V_1 - V_2 + V_3 = 192\pi - 75\pi + 144\pi = (192 - 75 + 144)\pi = (117 + 144)\pi = 261\pi$

3. 最終的な答え

$261\pi$