直線 $l$ を軸として、与えられた図形を回転させてできる立体の体積を求めよ。円周率は $\pi$ とする。

1. 問題の内容

直線 $l$ を軸として、与えられた図形を回転させてできる立体の体積を求めよ。円周率は $\pi$ とする。

2. 解き方の手順

図形は、半径5の円と半径8の円の一部、長さ6の線分、および2つの円弧を結ぶ線分で囲まれています。回転体は、半径8の円を回転させた円柱から、半径5の円を回転させた円柱を取り除いたものと考えることができます。

半径8の円を回転させた円柱の体積は、

$V_1 = \pi \cdot 8^2 \cdot 6 = 384\pi$

半径5の円を回転させた円柱の体積は、

$V_2 = \pi \cdot 5^2 \cdot 6 = 150\pi$

求める体積は、$V = V_1 - V_2$ となります。

$V = 384\pi - 150\pi$

3. 最終的な答え

$234\pi$