正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) $n \geq 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

## 問題7

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) $n \geq 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

- 第 $n$ 群の最初の数は、第 $(n-1)$ 群までの項数の和に1を加えた奇数である。

- 第 $k$ 群には $k$ 個の奇数が含まれるので、第 $(n-1)$ 群までの項数の和は $\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ となる。

- よって、第 $n$ 群の最初の数は、奇数列の $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の数である。

- 奇数列の $m$ 番目の数は $2m-1$ で表されるので、第 $n$ 群の最初の数は $2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = n(n-1) + 2 - 1 = n^2 - n + 1$ となる。

- これは $n=1$ でも成り立つ。

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

- 第15群には15個の奇数が含まれている。

- 第15群の最初の数は $15^2 - 15 + 1 = 225 - 15 + 1 = 211$ である。

- 第15群の最後の数は、等差数列の性質から $211 + (15-1) \times 2 = 211 + 28 = 239$ となる。

- 等差数列の和の公式より、第15群の和 $S$ は $\frac{15}{2}(211 + 239) = \frac{15}{2} \times 450 = 15 \times 225 = 3375$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $n^2 - n + 1$

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$: $3375$