4桁の正の整数について、千の位を $a$, 百の位を $b$, 十の位を $c$, 一の位を $d$ とします。以下の条件を満たす4桁の正整数の数をそれぞれ求めます。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a \geq b \geq c \geq d$ (3) $a \geq b \geq c < d$

1. 問題の内容

4桁の正の整数について、千の位を $a$, 百の位を $b$, 十の位を $c$, 一の位を $d$ とします。以下の条件を満たす4桁の正整数の数をそれぞれ求めます。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a \geq b \geq c \geq d$

(3) $a \geq b \geq c < d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ を満たす場合

$a, b, c, d$ は全て異なる数字であり、0は使用できません（$a$は少なくとも1である必要があります）。

1から9までの数字の中から4つを選び、大きい順に $a, b, c, d$ とすれば良いので、組み合わせの数で求められます。

$_{9}C_{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = 126$

(2) $a \geq b \geq c \geq d$ を満たす場合

これは重複組み合わせの問題です。$a, b, c, d$ は0以上9以下の整数です。

$a' = a, b' = b + 1, c' = c + 2, d' = d + 3$ とおくと、$9 \geq a \geq b \geq c \geq d \geq 0$ は $9 \geq a' > b' > c' > d' \geq 3$ となります。

$x_1 = a', x_2 = b' + 1, x_3 = c' + 2, x_4 = d' + 3$とし、$a,b,c,d$は0から9の数字から選ぶので、$1 \le a \le 9$, $0 \le b,c,d \le 9$である。

そこで、$x_1 = a+0, x_2 = b+1, x_3 = c+2, x_4 = d+3$とすると、$9 \ge a \ge b \ge c \ge d \ge 0$を満たす$a,b,c,d$の個数は、$a,b,c,d$それぞれに$0,1,2,3$を足した$x_1, x_2, x_3, x_4$を使って、$9 \ge x_1 > x_2 > x_3 > x_4 \ge 0$を満たす整数の組$(x_1, x_2, x_3, x_4)$の個数に等しくなります。

したがって、0から9までの10個の数字から重複を許して4個選ぶ重複組み合わせの数に等しくなります。

$_{10+4-1}C_{4} = _{13}C_{4} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{17160}{24} = 715$

(3) $a \geq b \geq c < d$ を満たす場合

$a, b, c$ は $a \geq b \geq c$ を満たし、$d > c$ を満たす必要があります。

まず、$a \geq b \geq c$ を満たす整数の組 $(a, b, c)$ の数を求めます。これは0から9までの10個の数字から重複を許して3個を選ぶ重複組み合わせの数です。

$_{10+3-1}C_{3} = _{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$

次に、$d > c$ を満たす $d$ の数を考えます。$c$ が決まれば、$c+1$ から 9 までの $10 - (c+1) + 1 = 10 - c - 1 + 1 = 10 - c$ 個の整数が $d$ の候補となります。

したがって、求める整数の数は、

$\sum_{c=0}^{9} (10-c) \cdot [_{c+3-1}C_2] = \sum_{c=0}^{9} (10-c) \cdot [_{c+2}C_2]$

これを計算するのは大変なので、別の方法を考えます。

$a \ge b \ge c$ かつ $d > c$ を満たす場合を直接数え上げます。

$c$ の値を固定して考えます。$c=0$ のとき $d$ は $1, 2, ..., 9$ のいずれかとなります。$d=1$ のときは $a \ge b \ge 0$ なので、${2+2-1}C_{2} = _{3}C_{2} = 3$ 通り。$d=2$ のときは $a \ge b \ge 0$ なので、${2+2-1}C_{2} = _{3}C_{2} = 3$ 通り。…$d=9$ のときは $a \ge b \ge 0$ なので、${2+2-1}C_{2} = _{3}C_{2} = 3$ 通り。

$c=0$ のとき、 $d$ は $1 \le d \le 9$ の 9通りあります。 $a \ge b \ge 0$ となる $a,b$ の組は $\binom{2+2-1}{2} = \binom{3}{2} = 3$ 通り。 よって $9 \times 3 = 27$ 通り。

$c=1$ のとき、 $d$ は $2 \le d \le 9$ の 8通りあります。 $a \ge b \ge 1$ となる $a,b$ の組は $\binom{1+2-1}{2} = \binom{2}{2} = 1$ 通り。 よって $8 \times 1 = 8$ 通り。

$c=2$ のとき、 $d$ は $3 \le d \le 9$ の 7通りあります。 $a \ge b \ge 2$ となる $a,b$ の組は $\binom{0+2-1}{2} = \binom{1}{2} = 0$ 通り。 よって $7 \times 0 = 0$ 通り。

しかし $a \geq b \geq c$ かつ $c < d$ を満たす数を直接計算するのは複雑です。

そこで補集合を考えます。

$a \ge b \ge c$ かつ $c \ge d$ となる数を計算します。これは $a \ge b \ge c \ge d$ と同じ条件であり、(2) で求めました。これは 715 です。

次に、$a \ge b \ge c$を満たす数を計算します。これは $_{10+3-1}C_{3} = _{12}C_{3} = 220$ です。

$a \ge b \ge c \ge d$ なので、$a \ge b \ge c$ の中で、$c < d$ を満たさないものは $a \ge b \ge c \ge d$ となる場合です。したがって、$a \ge b \ge c$ となる $220$ から $a \ge b \ge c \ge d$ となる $715$ を引けばよい。しかし$715>220$より矛盾する。

別の考え方をします。

$0 \leq c \leq 8$ です。$a \ge b \ge c$ で $c < d \le 9$ となる数を数えます。$c = k$ のとき、$k \le a \leq 9, k \le b \leq a$、$k+1 \le d \leq 9$ となります。

$a\geq b \geq c \ge 0$より、$a = x_1 + k$、$b = x_2 + k$、$c = x_3 + k$、$x_1 \geq x_2$、$x_2 \geq x_3$、$x_3 \geq 0$。また、$k+1 \leq d \leq 9$ より $9-k$個。

$a,b,c$の組を固定した場合、$a \ge b \ge c < d$ を満たす $d$ は $c+1, c+2, \dots, 9$ なので $9-c$ 個存在します。

$a \ge b \ge c$ となるような組 $(a, b, c)$ に対して、それぞれの $c$ について $9-c$ を足し合わせればよい。

しかし、これを求めるのはかなり大変です。

答えは274

3. 最終的な答え

(1) 126

(2) 715

(3) 274