直方体ABCD-EFGHにおいて、以下のものについてなす角$\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$) を求める。 (1) 直線ABと直線CG (2) 直線BCと直線EG (3) 平面ABGと平面EFG (4) 平面BDHと平面CEG

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、以下のものについてなす角$\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$) を求める。

(1) 直線ABと直線CG

(2) 直線BCと直線EG

(3) 平面ABGと平面EFG

(4) 平面BDHと平面CEG

2. 解き方の手順

(1) 直線ABと直線CG

直線ABと直線CGは平行なので、なす角は$90^\circ$である。

(2) 直線BCと直線EG

直線BCと直線EGのなす角は、直線BCと直線FGのなす角に等しい。

$\triangle CFG$において、$CF = \sqrt{3}, FG = \sqrt{3}, CG = 1$である。

したがって、$\triangle CFG$は二等辺三角形である。

$\angle CFG = \theta$とすると、余弦定理より、

$1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos \theta$

$1 = 3 + 3 - 6 \cos \theta$

$6 \cos \theta = 5$

$\cos \theta = \frac{5}{6}$

$\theta = \arccos \frac{5}{6}$

(3) 平面ABGと平面EFG

平面ABGと平面EFGの交線は直線BGである。

点Fから直線BGに下ろした垂線をFIとする。点Aから直線BGに下ろした垂線をAJとする。

なす角は$\angle AFI$である。

$\angle AFI = \theta$とすると、$\angle BFG = 90^\circ$なので、$\angle BFI = 90^\circ$

同様に$\angle ABG = 90^\circ$なので、$\angle ABJ = 90^\circ$

$\angle AFI = 90^\circ$

(4) 平面BDHと平面CEG

平面BDHと平面CEGは平行なので、なす角は$0^\circ$である。

3. 最終的な答え

(1) $90^\circ$

(2) $\arccos \frac{5}{6}$

(3) $90^\circ$

(4) $0^\circ$