直方体ABCD-EFGHにおいて、以下の角度$\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$)を求めます。 (1) 直線ABと直線CGのなす角 (2) 直線BCと直線EGのなす角 (3) 平面ABGと平面EFGのなす角 (4) 平面BDHと平面CEGのなす角

幾何学空間図形直方体角度ベクトル
2025/7/10

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、以下の角度θ\theta (0θ900^\circ \le \theta \le 90^\circ)を求めます。
(1) 直線ABと直線CGのなす角
(2) 直線BCと直線EGのなす角
(3) 平面ABGと平面EFGのなす角
(4) 平面BDHと平面CEGのなす角

2. 解き方の手順

(1) 直線ABと直線CGのなす角
直線ABと直線CGは平行であり、直方体の定義より、隣り合う辺は垂直であるため、ABとCGは平行でなく、ねじれの位置にある。しかし、CGはAEと平行である。ABとAEのなす角は90度である。
(2) 直線BCと直線EGのなす角
点EからBCに平行な直線を引き、その直線をEIとする。このとき、EIとEGのなす角が直線BCとEGのなす角となる。三角形EFGにおいて、EF=1, FG=3\sqrt{3}であるから、EG=EF2+FG2=1+3=2EG = \sqrt{EF^2 + FG^2} = \sqrt{1 + 3} = 2。三角形EGIにおいて、EI=3\sqrt{3}, EG=2, GI=1であるから、三角形EGIは直角三角形である。したがって、cosθ=EIEG=32\cos \theta = \frac{EI}{EG} = \frac{\sqrt{3}}{2}なので、θ=30\theta = 30^\circ
(3) 平面ABGと平面EFGのなす角
交線はFGであり、ABGに含まれる直線BGはFGと垂直ではない。EFGに含まれる直線FGである。平面ABFEと平面EFGHは垂直であり、BFE=90\angle BFE = 90^\circである。平面ABGにおいて、BGはEFGと垂直ではない。平面ABGと平面EFGのなす角は、BGF \angle BGFである。BF=1BF = 1, FG=3FG = \sqrt{3}なので、tan(BGF)=BFFG=13\tan(\angle BGF) = \frac{BF}{FG} = \frac{1}{\sqrt{3}}。したがって、BGF=30\angle BGF = 30^\circ
(4) 平面BDHと平面CEGのなす角
CEGは直方体の対称性から、BDHと垂直である。
平面CEGは線分EGを含みます。平面BDHは線分BDを含みます。
平面CEGと平面BDHの交線は、直方体の中心を通る線です。
平面BDHと平面CEGのなす角は90°である。

3. 最終的な答え

(1) 90°
(2) 30°
(3) 30°
(4) 90°

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