直方体ABCD-EFGHにおいて、直線ABと直線CGのなす角$\theta$を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$とします。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、直線ABと直線CGのなす角$\theta$を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$とします。

2. 解き方の手順

直線ABと直線CGはねじれの位置にあり、そのままでは角度を求めるのが難しいです。そこで、直線ABに平行な直線EFを考えます。

直線EFと直線CGは交わり、なす角は$\angle EGC$となります。

直方体の辺の長さは、AB = $\sqrt{3}$、BC = AD = $\sqrt{3}$、CG = BF = AE = 1 です。

三角形EGCにおいて、EG = $\sqrt{EF^2 + FG^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$。

GC = 1。

EC = $\sqrt{AE^2 + AC^2}$であり、$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3+3} = \sqrt{6}$なので、

EC = $\sqrt{1^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{1+6} = \sqrt{7}$。

三角形EGCにおいて余弦定理を用いると、

$EC^2 = EG^2 + GC^2 - 2 \cdot EG \cdot GC \cdot \cos{\angle EGC}$

$(\sqrt{7})^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos{\angle EGC}$

$7 = 4 + 1 - 4 \cos{\angle EGC}$

$2 = -4 \cos{\angle EGC}$

$\cos{\angle EGC} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\angle EGC = 120^\circ$

ABとCGのなす角は$120^\circ$または$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$です。条件$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$より、$\theta = 60^\circ$

3. 最終的な答え

60°