等比数列 $\{a_n\}$ において、第5項が-48、第7項が-192であるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、第5項が-48、第7項が-192であるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a r^{n-1}$ で表される。ここで、$a$は初項、$r$は公比である。

問題文より、

$a_5 = a r^{5-1} = a r^4 = -48$

$a_7 = a r^{7-1} = a r^6 = -192$

これらの2式から、$a$と$r$を求める。

2つの式を割り算すると、

$\frac{a r^6}{a r^4} = \frac{-192}{-48}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

$r = 2$のとき、$a (2)^4 = -48$ より $16a = -48$なので $a = -3$。

したがって、$a_n = -3 \cdot 2^{n-1}$。

$r = -2$のとき、$a (-2)^4 = -48$ より $16a = -48$なので $a = -3$。

したがって、$a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$。

3. 最終的な答え

$a_n = -3 \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$