特殊直交行列 $T = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6 & 6 & -7 \\ -9 & 2 & -6 \\ -2 & 9 & 6 \end{pmatrix} \in SO(3)$ で表される回転の回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求める。

1. 問題の内容

特殊直交行列 $T = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6 & 6 & -7 \\ -9 & 2 & -6 \\ -2 & 9 & 6 \end{pmatrix} \in SO(3)$ で表される回転の回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ は、行列 $T$ の固有値が 1 に対応する固有ベクトルである。つまり、$T\vec{l} = \vec{l}$ を満たす $\vec{l}$ を求める。

$T\vec{l} = \vec{l}$ は $(T - I)\vec{l} = \vec{0}$ と同値である。ここで、$I$ は単位行列である。

$T - I = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6 & 6 & -7 \\ -9 & 2 & -6 \\ -2 & 9 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6-11 & 6 & -7 \\ -9 & 2-11 & -6 \\ -2 & 9 & 6-11 \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} -5 & 6 & -7 \\ -9 & -9 & -6 \\ -2 & 9 & -5 \end{pmatrix}$

したがって、$\begin{pmatrix} -5 & 6 & -7 \\ -9 & -9 & -6 \\ -2 & 9 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を解けば良い。

$-5x + 6y - 7z = 0$

$-9x - 9y - 6z = 0$

$-2x + 9y - 5z = 0$

2番目の式を 3 で割ると $-3x - 3y - 2z = 0$ となり $z = -\frac{3}{2}x - \frac{3}{2}y$

これを1番目の式に代入すると $-5x + 6y - 7(-\frac{3}{2}x - \frac{3}{2}y) = 0$

$-5x + 6y + \frac{21}{2}x + \frac{21}{2}y = 0$

$-\frac{10}{2}x + \frac{12}{2}y + \frac{21}{2}x + \frac{21}{2}y = 0$

$\frac{11}{2}x + \frac{33}{2}y = 0$

$x + 3y = 0$ より $x = -3y$

$z = -\frac{3}{2}(-3y) - \frac{3}{2}y = \frac{9}{2}y - \frac{3}{2}y = \frac{6}{2}y = 3y$

$\vec{l} = \begin{pmatrix} -3y \\ y \\ 3y \end{pmatrix}$

$y = 1$ とすると $\vec{l} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\vec{l}$ を正規化する。$||\vec{l}|| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 1 + 9} = \sqrt{19}$

$\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{19}} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) 回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ は、トレースを用いて求めることができる。

$Tr(T) = 1 + 2\cos \theta$

$Tr(T) = \frac{1}{11}(6 + 2 + 6) = \frac{14}{11}$

$\frac{14}{11} = 1 + 2\cos \theta$

$\frac{14}{11} - 1 = 2\cos \theta$

$\frac{3}{11} = 2\cos \theta$

$\cos \theta = \frac{3}{22}$

3. 最終的な答え

回転軸の方向ベクトル $\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{19}} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

回転角の余弦 $\cos \theta = \frac{3}{22}$