次の複素数の値を極形式で表現する問題です。 (1) $z = a-bi$ の共役複素数 $\bar{z}$ (2) $z_1$ と $z_2$ の積 $z_1z_2$ (3) $z_1$ を $z_2$ で割った商 $\frac{z_1}{z_2}$

1. 問題の内容

次の複素数の値を極形式で表現する問題です。

(1) $z = a-bi$ の共役複素数 $\bar{z}$

(2) $z_1$ と $z_2$ の積 $z_1z_2$

(3) $z_1$ を $z_2$ で割った商 $\frac{z_1}{z_2}$

2. 解き方の手順

(1) $z = a - bi$ の共役複素数 $\bar{z} = a - bi$ を極形式で表す。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$とすると、$a = r\cos\theta$, $b = -r\sin\theta$となります。

したがって、$\bar{z} = a - bi = r\cos\theta - ir\sin\theta = r(\cos\theta - i\sin\theta) = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) = re^{-i\theta}$

(2) $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$、 $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$とすると、

$z_1 z_2 = r_1 e^{i\theta_1} r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

(3) $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$、 $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$とすると、

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$

3. 最終的な答え

(1) $\bar{z} = re^{-i\theta}$

(2) $z_1 z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

(3) $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$