$x = 2 + \sqrt{3}$ のとき、$x^2 - 4x + 1$ の値と、$x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 3x + 8$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = 2 + \sqrt{3}$ のとき、$x^2 - 4x + 1$ の値と、$x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 3x + 8$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x + 1$ の値を求める。

$x = 2 + \sqrt{3}$ を与えられた式に代入します。

$x^2 - 4x + 1 = (2 + \sqrt{3})^2 - 4(2 + \sqrt{3}) + 1$

$(2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

$4(2 + \sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3}$

したがって、

$x^2 - 4x + 1 = (7 + 4\sqrt{3}) - (8 + 4\sqrt{3}) + 1 = 7 + 4\sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3} + 1 = 0$

(2) $x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 3x + 8$ の値を求める。

$x^2 - 4x + 1 = 0$ より $x^2 = 4x - 1$ であるから、この式を用いて $x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 3x + 8$ を書き換えていきます。

$x^2 - 4x + 1 = 0$ から $x^2 - 4x = -1$ です。

$x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 3x + 8 = x^2(x^2) - 3x(x^2) + 7x^2 - 3x + 8$

$= x^2(4x-1) - 3x(4x-1) + 7x^2 - 3x + 8$

$= 4x^3 - x^2 - 12x^2 + 3x + 7x^2 - 3x + 8$

$= 4x^3 - 6x^2 + 8$

$= 4x(x^2) - 6x^2 + 8$

$= 4x(4x-1) - 6x^2 + 8$

$= 16x^2 - 4x - 6x^2 + 8$

$= 10x^2 - 4x + 8$

$= 10(4x-1) - 4x + 8$

$= 40x - 10 - 4x + 8$

$= 36x - 2$

$x = 2 + \sqrt{3}$ を代入します。

$36x - 2 = 36(2 + \sqrt{3}) - 2 = 72 + 36\sqrt{3} - 2 = 70 + 36\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x^2 - 4x + 1 = 0$

$x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 3x + 8 = 70 + 36\sqrt{3}$