第11項が-12、第20項が-57である等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える。 (1) 一般項 $a_n$ を求める。 (2) -117が第何項であるかを求める。 (3) 初めて負になるのは第何項であるかを求める。 (4) 初項から第何項までの和が最大となるかを求め、その和を求める。

1. 問題の内容

第11項が-12、第20項が-57である等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える。

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

(2) -117が第何項であるかを求める。

(3) 初めて負になるのは第何項であるかを求める。

(4) 初項から第何項までの和が最大となるかを求め、その和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とする。ここで、$a$は初項、$d$は公差である。

第11項が-12より、$a_{11} = a + 10d = -12$。

第20項が-57より、$a_{20} = a + 19d = -57$。

2つの式を連立して解く。

$a + 19d = -57$

$a + 10d = -12$

上の式から下の式を引くと、$9d = -45$ より $d = -5$。

$a + 10(-5) = -12$ より $a - 50 = -12$ なので $a = 38$。

したがって、一般項は $a_n = 38 + (n-1)(-5) = 38 - 5n + 5 = 43 - 5n$。

(2) $a_n = -117$ となる $n$ を求める。

$43 - 5n = -117$

$-5n = -160$

$n = 32$

したがって、-117は第32項である。

(3) $a_n < 0$ となる最小の $n$ を求める。

$43 - 5n < 0$

$43 < 5n$

$n > \frac{43}{5} = 8.6$

したがって、初めて負になるのは第9項である。

(4) 和が最大となるのは、$a_n > 0$ を満たす最大の $n$ までの和である。

$a_n = 43 - 5n > 0$

$43 > 5n$

$n < \frac{43}{5} = 8.6$

$a_8 = 43 - 5(8) = 43 - 40 = 3 > 0$

$a_9 = 43 - 5(9) = 43 - 45 = -2 < 0$

したがって、初項から第8項までの和が最大となる。

第8項までの和は $S_8 = \frac{8}{2} (a_1 + a_8) = 4(38 + 3) = 4(41) = 164$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 43 - 5n$

(2) 32

(3) 9

(4) 8, 164