$x, y, z$ に関する連立一次方程式 \begin{cases} 2x - y + 3z = a \\ x + 2y - z = b \\ 5x + y + 8z = c \end{cases} を解いたときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x, y, z$ に関する連立一次方程式

\begin{cases}

2x - y + 3z = a \\

x + 2y - z = b \\

5x + y + 8z = c

\end{cases}

を解いたときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を解くために、いくつかの方程式を組み合わせて変数を消去していきます。

(1) 第1式と第3式に注目し、$y$ を消去します。第1式と第3式を足し合わせると、

$(2x - y + 3z) + (5x + y + 8z) = a + c$

$7x + 11z = a + c$ ... (4)

(2) 第2式を2倍して第1式に足し、$y$ を消去します。

$(2x - y + 3z) + 2(x + 2y - z) = a + 2b$

$2x - y + 3z + 2x + 4y - 2z = a + 2b$

$4x + 3y + z = a + 2b$

$4x + 3y + z = a + 2b$ ... この式は、$y$ が消去されていないため、方針を変えます。

(3) 第1式に第3式を足した式(4) $7x + 11z = a+c$ を用います。

第2式を8倍して第3式に足し、$z$ を消去します。

$8(x + 2y - z) + (5x + y + 8z) = 8b + c$

$8x + 16y - 8z + 5x + y + 8z = 8b + c$

$13x + 17y = 8b + c$ ... (5)

(4) 第1式と第2式から $y$ を消去することを目指します。

第1式に2をかけ、$4x - 2y + 6z = 2a$

これに第2式を足すと、$5x + 5z = 2a+b$ となります。

よって、 $x+z = (2a+b)/5$ より、$z = (2a+b)/5 - x$

(5) この結果を式(4) $7x + 11z = a + c$ に代入します。

$7x + 11((2a+b)/5 - x) = a + c$

$7x + (22a + 11b)/5 - 11x = a + c$

$-4x = a + c - (22a + 11b)/5$

$-20x = 5a + 5c - 22a - 11b$

$-20x = -17a - 11b + 5c$

$x = (17a + 11b - 5c)/20$

3. 最終的な答え

$x = \frac{17a + 11b - 5c}{20}$