不等式 $x^2 + (a-1)x + 4 < 0$ ...① について、以下の問題を解く。 (1) 不等式①が解をもたないように、定数 $a$ の値の範囲を定める。 (2) $1 \leq x \leq 2$ のすべての $x$ について、不等式①が成り立つように、定数 $a$ の値の範囲を定める。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + (a-1)x + 4 < 0$ ...① について、以下の問題を解く。

(1) 不等式①が解をもたないように、定数 $a$ の値の範囲を定める。

(2) $1 \leq x \leq 2$ のすべての $x$ について、不等式①が成り立つように、定数 $a$ の値の範囲を定める。

2. 解き方の手順

(1)

不等式 $x^2 + (a-1)x + 4 < 0$ が解を持たない条件は、$x^2 + (a-1)x + 4 = 0$ の判別式 $D$ が $D \leq 0$ を満たすことである。

判別式 $D$ は次のように計算される。

$D = (a-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 2a + 1 - 16 = a^2 - 2a - 15$

$D \leq 0$ であるから、$a^2 - 2a - 15 \leq 0$ が成り立つ。

$(a-5)(a+3) \leq 0$ より、$-3 \leq a \leq 5$。

(2)

$f(x) = x^2 + (a-1)x + 4$ とおく。$1 \leq x \leq 2$ のすべての $x$ について $f(x) < 0$ となる条件を求める。

これは、$1 \leq x \leq 2$ における $f(x)$ の最大値が0より小さいことと同値である。

$f(x) = (x + \frac{a-1}{2})^2 - (\frac{a-1}{2})^2 + 4$ より、$f(x)$ は $x = - \frac{a-1}{2}$ を軸とする下に凸な放物線である。

場合分けを行う。

(i) $-\frac{a-1}{2} < 1$ のとき、すなわち $a > -1$ のとき、$f(x)$ は $1 \leq x \leq 2$ において単調増加である。したがって、$f(2) < 0$ であればよい。

$f(2) = 2^2 + (a-1) \cdot 2 + 4 = 4 + 2a - 2 + 4 = 2a + 6 < 0$ より、$a < -3$。

しかし、$a > -1$ と $a < -3$ を同時に満たす $a$ は存在しない。

(ii) $1 \leq -\frac{a-1}{2} \leq 2$ のとき、すなわち $-5 \leq a \leq -1$ のとき、$f(x)$ の最小値は $f(-\frac{a-1}{2}) = - (\frac{a-1}{2})^2 + 4$ である。

$f(1) < 0$ かつ $f(2) < 0$ であればよい。

$f(1) = 1 + a - 1 + 4 = a + 4 < 0$ より、$a < -4$。

$f(2) = 4 + 2(a-1) + 4 = 2a + 6 < 0$ より、$a < -3$。

したがって、$a < -4$。これと $-5 \leq a \leq -1$ より、$-5 \leq a < -4$。

(iii) $-\frac{a-1}{2} > 2$ のとき、すなわち $a < -3$ のとき、$f(x)$ は $1 \leq x \leq 2$ において単調減少である。したがって、$f(1) < 0$ であればよい。

$f(1) = 1 + a - 1 + 4 = a + 4 < 0$ より、$a < -4$。

これと $a < -3$ より、$a < -4$。

(i),(ii),(iii) を総合すると、$a < -4$。

3. 最終的な答え

(1) $-3 \leq a \leq 5$

(2) $a < -4$