与えられた行列式の因数分解を求める問題です。行列式は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 & a^3 \\ 1 & b & b^2 & b^3 \\ 1 & c & c^2 & c^3 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列式の因数分解を求める問題です。行列式は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & a & a^2 & a^3 \\

1 & b & b^2 & b^3 \\

1 & c & c^2 & c^3

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた行列式を$D$とおきます。

$D = \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & a & a^2 & a^3 \\

1 & b & b^2 & b^3 \\

1 & c & c^2 & c^3

\end{vmatrix}$

まず、第2行から第1行を、第3行から第1行を、第4行から第1行をそれぞれ引きます。

$D = \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

0 & a-1 & a^2-1 & a^3-1 \\

0 & b-1 & b^2-1 & b^3-1 \\

0 & c-1 & c^2-1 & c^3-1

\end{vmatrix}$

次に、第1列について展開します。

$D = \begin{vmatrix}

a-1 & a^2-1 & a^3-1 \\

b-1 & b^2-1 & b^3-1 \\

c-1 & c^2-1 & c^3-1

\end{vmatrix}$

$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$、$a^3 - 1 = (a-1)(a^2+a+1)$、$b^2 - 1 = (b-1)(b+1)$、$b^3 - 1 = (b-1)(b^2+b+1)$、$c^2 - 1 = (c-1)(c+1)$、$c^3 - 1 = (c-1)(c^2+c+1)$ を用いて、各行から$(a-1)$、$(b-1)$、$(c-1)$をくくりだします。

$D = (a-1)(b-1)(c-1)\begin{vmatrix}

1 & a+1 & a^2+a+1 \\

1 & b+1 & b^2+b+1 \\

1 & c+1 & c^2+c+1

\end{vmatrix}$

次に、第2行から第1行を、第3行から第1行をそれぞれ引きます。

$D = (a-1)(b-1)(c-1)\begin{vmatrix}

1 & a+1 & a^2+a+1 \\

0 & b-a & b^2+b-a^2-a \\

0 & c-a & c^2+c-a^2-a

\end{vmatrix}$

第1列について展開します。

$D = (a-1)(b-1)(c-1)\begin{vmatrix}

b-a & b^2+b-a^2-a \\

c-a & c^2+c-a^2-a

\end{vmatrix}$

$b^2+b-a^2-a = (b-a)(b+a+1)$、$c^2+c-a^2-a = (c-a)(c+a+1)$を用いて、各行から$(b-a)$、$(c-a)$をくくりだします。

$D = (a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}

1 & b+a+1 \\

1 & c+a+1

\end{vmatrix}$

$D = (a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c+a+1 - (b+a+1))$

$D = (a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$

$D = (a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$

$D = (a-b)(b-c)(c-a)(a-1)(b-1)(c-1)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)(a-1)(b-1)(c-1)$