2次方程式 $x^2 - x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とする。自然数 $n$ に対して、$\alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1} - 4(\alpha^n + \beta^n)$ の関係が成り立つ。$\alpha^n + \beta^n$ が奇数であるか偶数であるかを、数学的帰納法を用いて証明できることを利用して答えよ。

代数学二次方程式解の性質漸化式数学的帰納法複素数
2025/7/23

1. 問題の内容

2次方程式 x2x+4=0x^2 - x + 4 = 0 の2つの解を α\alphaβ\beta とする。自然数 nn に対して、αn+2+βn+2=αn+1+βn+14(αn+βn)\alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1} - 4(\alpha^n + \beta^n) の関係が成り立つ。αn+βn\alpha^n + \beta^n が奇数であるか偶数であるかを、数学的帰納法を用いて証明できることを利用して答えよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を確認します。
αn+2+βn+2=αn+1+βn+14(αn+βn)\alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1} - 4(\alpha^n + \beta^n)
次に、α\alphaβ\betax2x+4=0x^2 - x + 4 = 0 の解であるから、
α2α+4=0\alpha^2 - \alpha + 4 = 0β2β+4=0\beta^2 - \beta + 4 = 0 が成り立つ。
これらをそれぞれ変形すると、
α2=α4\alpha^2 = \alpha - 4
β2=β4\beta^2 = \beta - 4
したがって、
αn+2=αnα2=αn(α4)=αn+14αn\alpha^{n+2} = \alpha^n \alpha^2 = \alpha^n (\alpha - 4) = \alpha^{n+1} - 4\alpha^n
βn+2=βnβ2=βn(β4)=βn+14βn\beta^{n+2} = \beta^n \beta^2 = \beta^n (\beta - 4) = \beta^{n+1} - 4\beta^n
これらを足し合わせると
αn+2+βn+2=(αn+1+βn+1)4(αn+βn)\alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = (\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) - 4(\alpha^n + \beta^n)
これは問題文に与えられた漸化式と一致する。
ここで、Sn=αn+βnS_n = \alpha^n + \beta^n とおく。
S0=α0+β0=1+1=2S_0 = \alpha^0 + \beta^0 = 1 + 1 = 2
S1=α+β=11=1S_1 = \alpha + \beta = - \frac{-1}{1} = 1
S2=α2+β2=(α+β)22αβ=122(4)=18=7S_2 = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2(4) = 1 - 8 = -7
S3=α3+β3=(α+β)(α2αβ+β2)=(α+β)((α+β)23αβ)=1(13(4))=112=11S_3 = \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) = 1(1 - 3(4)) = 1 - 12 = -11
SnS_nに関する漸化式は、
Sn+2=Sn+14SnS_{n+2} = S_{n+1} - 4 S_n
S0=2S_0 = 2 (偶数)
S1=1S_1 = 1 (奇数)
S2=7S_2 = -7 (奇数)
S3=11S_3 = -11 (奇数)
S4=S34S2=114(7)=11+28=17S_4 = S_3 - 4S_2 = -11 - 4(-7) = -11 + 28 = 17 (奇数)
S5=S44S3=174(11)=17+44=61S_5 = S_4 - 4S_3 = 17 - 4(-11) = 17 + 44 = 61 (奇数)
数学的帰納法でn1n \geq 1の時、SnS_nが奇数であることを示す。
S1=1S_1 = 1, S2=7S_2 = -7なので、n=1,2n=1, 2の時は成り立つ。
k1k \geq 1に対して、SkS_kSk+1S_{k+1}が奇数であると仮定する。
Sk+2=Sk+14SkS_{k+2} = S_{k+1} - 4S_k
Sk+1S_{k+1}は奇数であり、4Sk4S_kは偶数であるため、Sk+2S_{k+2}は奇数である。
よって数学的帰納法により、n1n \geq 1のとき、SnS_nは奇数である。
S0=2S_0 = 2 は偶数である。
n1n \geq 1に対して、αn+βn\alpha^n + \beta^nは奇数である。

3. 最終的な答え

奇数

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