2次方程式 $x^2 - x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とする。自然数 $n$ に対して、$\alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = \alpha^{n+1} + \beta^{n+1} - 4(\alpha^n + \beta^n)$ の関係が成り立つ。$\alpha^n + \beta^n$ が奇数であるか偶数であるかを、数学的帰納法を用いて証明できることを利用して答えよ。
2025/7/23
1. 問題の内容
2次方程式 の2つの解を と とする。自然数 に対して、 の関係が成り立つ。 が奇数であるか偶数であるかを、数学的帰納法を用いて証明できることを利用して答えよ。
2. 解き方の手順
まず、与えられた漸化式を確認します。
次に、 と は の解であるから、
と が成り立つ。
これらをそれぞれ変形すると、
したがって、
これらを足し合わせると
これは問題文に与えられた漸化式と一致する。
ここで、 とおく。
に関する漸化式は、
(偶数)
(奇数)
(奇数)
(奇数)
(奇数)
(奇数)
数学的帰納法での時、が奇数であることを示す。
, なので、の時は成り立つ。
に対して、とが奇数であると仮定する。
は奇数であり、は偶数であるため、は奇数である。
よって数学的帰納法により、のとき、は奇数である。
は偶数である。
に対して、は奇数である。
3. 最終的な答え
奇数