整数 $\mathbb{Z}$ 上に、mod 4 による同値関係 $\sim$ を定義する。すなわち、$a \sim b$ とは、$a - b = 4k$ となる整数 $k$ が存在することである。また、写像 $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f(a) = 2a$ で定義する。 (1) 関係 $\sim$ が推移律を満たすことを示す。 (2) $f$ による誘導写像 $\bar{f}: \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ が well-defined であることを示す。 (3) 同値類 $[0], [1], [2], [3]$ の $\bar{f}$ による像をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

整数 $\mathbb{Z}$ 上に、mod 4 による同値関係 $\sim$ を定義する。すなわち、$a \sim b$ とは、$a - b = 4k$ となる整数 $k$ が存在することである。また、写像 $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f(a) = 2a$ で定義する。

(1) 関係 $\sim$ が推移律を満たすことを示す。

(2) $f$ による誘導写像 $\bar{f}: \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ が well-defined であることを示す。

(3) 同値類 $[0], [1], [2], [3]$ の $\bar{f}$ による像をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 推移律を示す。

$a \sim b$ かつ $b \sim c$ を仮定する。このとき、$a - b = 4k_1$ となる整数 $k_1$ と、$b - c = 4k_2$ となる整数 $k_2$ が存在する。

したがって、$a - c = (a - b) + (b - c) = 4k_1 + 4k_2 = 4(k_1 + k_2)$ となる。$k_1 + k_2$ は整数なので、$a \sim c$ が成り立つ。よって、$\sim$ は推移律を満たす。

(2) $\bar{f}$ が well-defined であることを示す。

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 上の写像 $\bar{f}$ が well-defined であるとは、$a \sim b$ ならば $f(a) \sim f(b)$ が成り立つことを示すことである。

$a \sim b$ を仮定すると、$a - b = 4k$ となる整数 $k$ が存在する。

このとき、$f(a) - f(b) = 2a - 2b = 2(a - b) = 2(4k) = 8k = 4(2k)$ となる。$2k$ は整数なので、$f(a) \sim f(b)$ が成り立つ。したがって、$\bar{f}$ は well-defined である。

(3) 同値類 $[0], [1], [2], [3]$ の $\bar{f}$ による像を求める。

$\bar{f}([0]) = [f(0)] = [2 \cdot 0] = [0]$

$\bar{f}([1]) = [f(1)] = [2 \cdot 1] = [2]$

$\bar{f}([2]) = [f(2)] = [2 \cdot 2] = [4] = [0]$

$\bar{f}([3]) = [f(3)] = [2 \cdot 3] = [6] = [2]$

3. 最終的な答え

(1) $\sim$ は推移律を満たす。

(2) $\bar{f}$ は well-defined である。

(3) $\bar{f}([0]) = [0]$, $\bar{f}([1]) = [2]$, $\bar{f}([2]) = [0]$, $\bar{f}([3]) = [2]$