自然数 $n$ が $n$ 個ずつ続く数列 $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$ において、自然数 $n$ が初めて現れるのは第何項か、という問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ が $n$ 個ずつ続く数列 $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$ において、自然数 $n$ が初めて現れるのは第何項か、という問題です。

2. 解き方の手順

数列の規則性から、

1 は 1 個

2 は 2 個

3 は 3 個

$\vdots$

$n-1$ は $n-1$ 個

$n$ は $n$ 個

と並んでいることがわかります。

自然数 $n$ が初めて現れるのは、1から $n-1$ までの自然数がそれぞれ個数だけ並んだ後です。

したがって、$n$ が初めて現れるのは、第

$1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) + 1$ 項です。

等差数列の和の公式を使うと、

$1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)(1 + (n-1))}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$

となります。

したがって、$n$ が初めて現れるのは、

$\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 項です。

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)}{2} + 1$ 項