指定された定義域において、次の二次関数の最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 - 4$, 定義域: $-2 \le x \le 2$ (2) $y = -2x^2 + 8x - 3$, 定義域: $-1 \le x \le 1$

1. 問題の内容

指定された定義域において、次の二次関数の最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 4$, 定義域: $-2 \le x \le 2$

(2) $y = -2x^2 + 8x - 3$, 定義域: $-1 \le x \le 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 4$ について

まず、この関数のグラフが下に凸の放物線であることを確認します。

頂点の $x$ 座標は $x = 0$ であり、これは定義域に含まれます。

$x = 0$ のとき $y = -4$ となり、これが最小値です。

定義域の端点における $y$ の値を計算します。

$x = -2$ のとき $y = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

$x = 2$ のとき $y = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

したがって、最大値は $0$ です。

(2) $y = -2x^2 + 8x - 3$ について

まず、この関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 4x) - 3 = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3 = -2((x - 2)^2 - 4) - 3 = -2(x - 2)^2 + 8 - 3 = -2(x - 2)^2 + 5$

この関数のグラフは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2, 5)$ です。

頂点の $x$ 座標 $x = 2$ は定義域 $-1 \le x \le 1$ に含まれません。

定義域の端点における $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき $y = -2(-1)^2 + 8(-1) - 3 = -2 - 8 - 3 = -13$

$x = 1$ のとき $y = -2(1)^2 + 8(1) - 3 = -2 + 8 - 3 = 3$

したがって、最大値は $3$ で、最小値は $-13$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $0$、最小値: $-4$

(2) 最大値: $3$、最小値: $-13$