与えられた画像に含まれる10個の数学の問題を解く。問題は円の方程式、領域、中心と半径の計算、円と直線の交点の座標を求める問題である。

1. 問題の内容

与えられた画像に含まれる10個の数学の問題を解く。問題は円の方程式、領域、中心と半径の計算、円と直線の交点の座標を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式の一般形は、中心が$(a,b)$、半径が$r$のとき、$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ で表される。よって、$\boxed{a}$、$\boxed{b}$、$\boxed{r^2}$ が当てはまる。

(2) 不等式$y > mx+n$の表す領域は、直線$y=mx+n$の上側。不等式$y < mx+n$の表す領域は、直線$y=mx+n$の下側。

(3) 不等式$x^2 + y^2 < r^2$ の表す領域は、円 $x^2 + y^2 = r^2$ の内部。不等式$x^2 + y^2 > r^2$ の表す領域は、円 $x^2 + y^2 = r^2$ の外部。

(4) 中心が$(-1,3)$、半径が$3$の円の方程式は、$(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = 3^2$。

(5) 原点を中心とする半径$2$の円の方程式は、$x^2 + y^2 = 2^2$。

(6) $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 16$ の中心の座標は$(3, -1)$、半径は$\sqrt{16} = 4$。

(7) $(x+4)^2 + (y-3)^2 = 5$ の中心の座標は$(-4, 3)$、半径は$\sqrt{5}$。

(8) 2点$A(2, -1)$、$B(8, 7)$を直径の両端とする円の中心は、線分ABの中点であるから、$((2+8)/2, (-1+7)/2) = (5, 3)$。半径は、$A$と中心$(5,3)$の距離であるから、$\sqrt{(5-2)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$。したがって、円の方程式は$(x-5)^2 + (y-3)^2 = 5^2$。

(9) $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ を変形すると、$(x^2 - 8x) + (y^2 + 2y) + 8 = 0$。平方完成して、$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) + 8 - 16 - 1 = 0$ より、$(x-4)^2 + (y+1)^2 = 9$。したがって、中心の座標は$(4, -1)$、半径は$\sqrt{9} = 3$。

(10) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x+5$ の交点を求める。直線の方程式を円の方程式に代入して、$x^2 + (2x+5)^2 = 5$ より、$x^2 + 4x^2 + 20x + 25 = 5$。整理して、$5x^2 + 20x + 20 = 0$。両辺を5で割って、$x^2 + 4x + 4 = 0$。これは $(x+2)^2 = 0$ となるので、$x = -2$。$y = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1$。したがって、交点の座標は $(-2, 1)$。

3. 最終的な答え

(1) 1: a, 2: b, 3: r^2

(2) 1: >, 2: <

(3) 1: <, 2: >

(4) $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 9$

(5) $x^2 + y^2 = 4$

(6) 中心: (3, -1), 半径: 4

(7) 中心: (-4, 3), 半径: $\sqrt{5}$

(8) $(x-5)^2 + (y-3)^2 = 25$

(9) 中心: (4, -1), 半径: 3

(10) (-2, 1)