与えられた問題は、円と直線の共有点の個数を求める問題、2点を直径の両端とする円の方程式を求める問題、そして与えられた円の方程式から中心の座標と半径を求める問題です。具体的には、以下の6つの問題があります。 (11) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = kx$ の共有点の個数を考える。 (12) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = kx + 2$ の共有点の個数を考える。 (13) 2点A(-3, 4), B(-5, 6)を直径の両端とする円の方程式を求める。 (14) 方程式 $x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ が表す円の中心の座標を求める。 (15) 方程式 $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$ が表す円の中心の座標と半径を求める。 (16) 方程式 $x^2 + y^2 + 4y = 0$ が表す円の中心の座標と半径を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、円と直線の共有点の個数を求める問題、2点を直径の両端とする円の方程式を求める問題、そして与えられた円の方程式から中心の座標と半径を求める問題です。具体的には、以下の6つの問題があります。

(11) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = kx$ の共有点の個数を考える。

(12) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = kx + 2$ の共有点の個数を考える。

(13) 2点A(-3, 4), B(-5, 6)を直径の両端とする円の方程式を求める。

(14) 方程式 $x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ が表す円の中心の座標を求める。

(15) 方程式 $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$ が表す円の中心の座標と半径を求める。

(16) 方程式 $x^2 + y^2 + 4y = 0$ が表す円の中心の座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

(11)

$x^2 + y^2 = 1$ に $y = kx$ を代入すると、$x^2 + (kx)^2 = 1$ より $(1+k^2)x^2 = 1$ となる。よって、$x^2 = \frac{1}{1+k^2}$。

判別式 $D=0$ を用いるまでもなく、$x^2 > 0$ なので、$x$ の値は2つ存在する。よって、共有点は2個。

(12)

$x^2 + y^2 = 5$ に $y = kx + 2$ を代入すると、$x^2 + (kx + 2)^2 = 5$。これを整理すると、$(1+k^2)x^2 + 4kx - 1 = 0$ となる。

判別式を $D$ とすると、$D = (4k)^2 - 4(1+k^2)(-1) = 16k^2 + 4 + 4k^2 = 20k^2 + 4$ となる。

$D > 0$ なので、常に異なる2つの実数解を持つ。したがって、共有点は2個。

(13)

円の中心は線分ABの中点なので、$(\frac{-3 + (-5)}{2}, \frac{4+6}{2}) = (-4, 5)$。

円の半径は、中心と点Aの距離に等しいので、$r = \sqrt{(-3 - (-4))^2 + (4-5)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$。

したがって、円の方程式は $(x+4)^2 + (y-5)^2 = 2$ となる。

(14)

$x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ を平方完成すると、$(x+1)^2 + y^2 = 4$ となる。

したがって、中心の座標は $(-1, 0)$。

(15)

$x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$ を平方完成すると、$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 16$ となる。

したがって、中心の座標は $(-2, 3)$。半径は $4$。

(16)

$x^2 + y^2 + 4y = 0$ を平方完成すると、$x^2 + (y+2)^2 = 4$ となる。

したがって、中心の座標は $(0, -2)$。半径は $2$。

3. 最終的な答え

(11) 2個

(12) 2個

(13) $(x+4)^2 + (y-5)^2 = 2$

(14) 中心の座標: $(-1, 0)$

(15) 中心の座標: $(-2, 3)$, 半径: $4$

(16) 中心の座標: $(0, -2)$, 半径: $2$