(17) 円の方程式 $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ の中心の座標と半径を求めよ。 (18) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = x + 1$ の共有点の座標を求めよ。 (19) 不等式 $x^2 + y^2 < 9$ の表す領域を図示せよ。 (20) 連立不等式 $\begin{cases} y < x + 1 \\ y > -x + 1 \end{cases}$ の表す領域を図示せよ。 (21) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 < 9 \\ y < x + 1 \end{cases}$ の表す領域を図示せよ。

1. 問題の内容

(17) 円の方程式 $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ の中心の座標と半径を求めよ。

(18) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = x + 1$ の共有点の座標を求めよ。

(19) 不等式 $x^2 + y^2 < 9$ の表す領域を図示せよ。

(20) 連立不等式

$\begin{cases}

y < x + 1 \\

y > -x + 1

\end{cases}$

の表す領域を図示せよ。

(21) 連立不等式

$\begin{cases}

x^2 + y^2 < 9 \\

y < x + 1

\end{cases}$

の表す領域を図示せよ。

2. 解き方の手順

(17)

円の方程式を平方完成する。

$x^2 + 4x + y^2 - 6y - 12 = 0$

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 12$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 12 + 4 + 9$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2$

これは、中心が $(-2, 3)$ 、半径が $5$ の円を表す。

(18)

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = x + 1$ の交点を求める。

直線の式を円の式に代入する。

$x^2 + (x + 1)^2 = 5$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 5$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

$x = -2, 1$

$x = -2$ のとき、$y = -2 + 1 = -1$

$x = 1$ のとき、$y = 1 + 1 = 2$

よって、共有点の座標は $(-2, -1)$ と $(1, 2)$ である。

(19)

不等式 $x^2 + y^2 < 9$ は、中心が原点 $(0, 0)$ 、半径が $\sqrt{9} = 3$ の円の内部を表す。ただし、円周を含まない。

領域を図示する際は、原点を中心とする半径3の円を点線で描き、円の内側を斜線で塗りつぶす。

(20)

$y < x + 1$ は、直線 $y = x + 1$ の下側の領域を表す。

$y > -x + 1$ は、直線 $y = -x + 1$ の上側の領域を表す。

領域を図示する際は、2本の直線を点線で描き、それぞれの不等式を満たす領域の共通部分を斜線で塗りつぶす。

(21)

$x^2 + y^2 < 9$ は、中心が原点 $(0, 0)$ 、半径が $3$ の円の内部を表す。

$y < x + 1$ は、直線 $y = x + 1$ の下側の領域を表す。

領域を図示する際は、円と直線を点線で描き、それぞれの不等式を満たす領域の共通部分を斜線で塗りつぶす。

3. 最終的な答え

(17) 中心の座標: $(-2, 3)$、半径: $5$

(18) 共有点の座標: $(-2, -1)$、$(1, 2)$

(19) 中心(0,0),半径3の円の内部(円周を含まない)を図示

(20) $y < x + 1$と$y > -x + 1$の両方を満たす領域を図示

(21) $x^2 + y^2 < 9$と$y < x + 1$の両方を満たす領域を図示