$\frac{3x}{(x+1)^2}$ を部分分数分解します。 $\frac{3x}{(x+1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2}$ と置きます。 両辺に $(x+1)^2$ を掛けると、 $3x = A(x+1) + B = Ax + A + B$ 係数を比較すると、 $A = 3$ $A + B = 0$ より $B = -A = -3$ したがって、 $\frac{3x}{(x+1)^2} = \frac{3}{x+1} - \frac{3}{(x+1)^2}$

## 問題の内容

次の3つの関数を積分する問題です。

(1) $\frac{3x}{(x+1)^2}$

(2) $\frac{x+2}{2x^2-x-3}$

(3) $\frac{5x+2}{(x-1)(x^2-3x+4)}$

## 解き方の手順

### (1) $\frac{3x}{(x+1)^2}$ の積分

1. **部分分数分解:**

$\frac{3x}{(x+1)^2}$ を部分分数分解します。

$\frac{3x}{(x+1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2}$ と置きます。

両辺に $(x+1)^2$ を掛けると、

$3x = A(x+1) + B = Ax + A + B$

係数を比較すると、

$A = 3$

$A + B = 0$ より $B = -A = -3$

したがって、

$\frac{3x}{(x+1)^2} = \frac{3}{x+1} - \frac{3}{(x+1)^2}$

2. **積分:**

$\int \frac{3x}{(x+1)^2} dx = \int \left( \frac{3}{x+1} - \frac{3}{(x+1)^2} \right) dx$

$= 3 \int \frac{1}{x+1} dx - 3 \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$

$= 3 \ln|x+1| - 3 \int (x+1)^{-2} dx$

$= 3 \ln|x+1| - 3 \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + C$

$= 3 \ln|x+1| + \frac{3}{x+1} + C$

### (2) $\frac{x+2}{2x^2-x-3}$ の積分

1. **分母の因数分解:**

$2x^2 - x - 3 = (2x-3)(x+1)$

2. **部分分数分解:**

$\frac{x+2}{(2x-3)(x+1)} = \frac{A}{2x-3} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $(2x-3)(x+1)$ を掛けると、

$x+2 = A(x+1) + B(2x-3) = (A+2B)x + (A-3B)$

係数を比較すると、

$A+2B = 1$

$A-3B = 2$

これを解くと、$A = \frac{7}{5}$ 、$B = -\frac{1}{5}$

したがって、

$\frac{x+2}{(2x-3)(x+1)} = \frac{7/5}{2x-3} - \frac{1/5}{x+1}$

3. **積分:**

$\int \frac{x+2}{2x^2-x-3} dx = \int \left( \frac{7/5}{2x-3} - \frac{1/5}{x+1} \right) dx$

$= \frac{7}{5} \int \frac{1}{2x-3} dx - \frac{1}{5} \int \frac{1}{x+1} dx$

$= \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{2} \ln|2x-3| - \frac{1}{5} \ln|x+1| + C$

$= \frac{7}{10} \ln|2x-3| - \frac{1}{5} \ln|x+1| + C$

### (3) $\frac{5x+2}{(x-1)(x^2-3x+4)}$ の積分

1. **部分分数分解:**

$\frac{5x+2}{(x-1)(x^2-3x+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2-3x+4}$

両辺に $(x-1)(x^2-3x+4)$ を掛けると、

$5x+2 = A(x^2-3x+4) + (Bx+C)(x-1) = A(x^2-3x+4) + Bx^2 - Bx + Cx - C = (A+B)x^2 + (-3A-B+C)x + (4A-C)$

係数を比較すると、

$A+B=0$

$-3A-B+C = 5$

$4A-C=2$

$A+B=0$ より $B = -A$

$-3A - (-A) + C = 5$ より $-2A+C=5$

$4A - C = 2$

上記の2式を足すと、$2A=7$ なので、$A = \frac{7}{2}$

$B = -\frac{7}{2}$

$4A - C = 2$ より $C = 4A-2 = 4(\frac{7}{2}) - 2 = 14-2 = 12$

したがって、

$\frac{5x+2}{(x-1)(x^2-3x+4)} = \frac{7/2}{x-1} + \frac{-7/2 x+12}{x^2-3x+4}$

2. **積分:**

$\int \frac{5x+2}{(x-1)(x^2-3x+4)} dx = \int \left( \frac{7/2}{x-1} + \frac{-7/2 x+12}{x^2-3x+4} \right) dx$

$= \frac{7}{2} \int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{-7/2 x+12}{x^2-3x+4} dx$

$= \frac{7}{2} \ln|x-1| + \int \frac{-7/2 x+12}{x^2-3x+4} dx$

ここで、$\int \frac{-7/2 x+12}{x^2-3x+4} dx$ について考えます。

分子を$k(2x-3) + l$ の形に書き換えます。

$-7/2x+12 = k(2x-3)+l = 2kx - 3k + l$

$2k = -7/2$ より $k = -7/4$

$-3k+l = 12$ より $l = 12+3k = 12+3(-7/4) = 12 - 21/4 = (48-21)/4 = 27/4$

$\int \frac{-7/2 x+12}{x^2-3x+4} dx = \int \frac{-7/4(2x-3)+27/4}{x^2-3x+4} dx$

$= -\frac{7}{4} \int \frac{2x-3}{x^2-3x+4} dx + \frac{27}{4} \int \frac{1}{x^2-3x+4} dx$

$= -\frac{7}{4} \ln|x^2-3x+4| + \frac{27}{4} \int \frac{1}{(x-3/2)^2 + 7/4} dx$

$= -\frac{7}{4} \ln|x^2-3x+4| + \frac{27}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{x-3/2}{\sqrt{7}/2} \right) + C$

$= -\frac{7}{4} \ln|x^2-3x+4| + \frac{27}{2\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x-3}{\sqrt{7}} \right) + C$

ゆえに、

$\int \frac{5x+2}{(x-1)(x^2-3x+4)} dx = \frac{7}{2} \ln|x-1| -\frac{7}{4} \ln|x^2-3x+4| + \frac{27}{2\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x-3}{\sqrt{7}} \right) + C$

## 最終的な答え

(1) $3 \ln|x+1| + \frac{3}{x+1} + C$

(2) $\frac{7}{10} \ln|2x-3| - \frac{1}{5} \ln|x+1| + C$

(3) $\frac{7}{2} \ln|x-1| -\frac{7}{4} \ln|x^2-3x+4| + \frac{27}{2\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x-3}{\sqrt{7}} \right) + C$