一つ目の問題は、三角関数の合成に関するもので、$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin(\theta)$ を一つのsin関数に合成することです。 二つ目の問題は、複素数の計算に関するもので、 $(\frac{1 - j\sqrt{3}}{2 - j2})^6$を極表示を利用して計算し、結果を極表示で表すことです。

1. 問題の内容

一つ目の問題は、三角関数の合成に関するもので、$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin(\theta)$ を一つのsin関数に合成することです。

二つ目の問題は、複素数の計算に関するもので、 $(\frac{1 - j\sqrt{3}}{2 - j2})^6$を極表示を利用して計算し、結果を極表示で表すことです。

2. 解き方の手順

**一つ目の問題：三角関数の合成**

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin(\theta)$ を計算します。

三角関数の加法定理を利用します。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{3}$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sin\theta \cdot \frac{1}{2} - \cos\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin\theta = \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \sin\theta = -\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

ここで、三角関数の合成を行います。$R\sin(\theta + \alpha) = R\sin\theta\cos\alpha + R\cos\theta\sin\alpha$

$R\cos\alpha = -\frac{1}{2}$, $R\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$R^2 = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

$R = 1$

$\cos\alpha = -\frac{1}{2}$, $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{4\pi}{3}$

よって、$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin(\theta) = \sin(\theta + \frac{4\pi}{3})$

**二つ目の問題：複素数の計算**

まず、分子と分母をそれぞれ極形式に変換します。

$1 - j\sqrt{3} = r_1 e^{j\theta_1}$

$r_1 = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$

$\theta_1 = \arctan(\frac{-\sqrt{3}}{1}) = -\frac{\pi}{3}$

$1 - j\sqrt{3} = 2e^{-j\frac{\pi}{3}}$

$2 - j2 = r_2 e^{j\theta_2}$

$r_2 = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\theta_2 = \arctan(\frac{-2}{2}) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$

$2 - j2 = 2\sqrt{2}e^{-j\frac{\pi}{4}}$

$\frac{1 - j\sqrt{3}}{2 - j2} = \frac{2e^{-j\frac{\pi}{3}}}{2\sqrt{2}e^{-j\frac{\pi}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-j\frac{\pi}{3} + j\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-j\frac{\pi}{12}}$

$(\frac{1 - j\sqrt{3}}{2 - j2})^6 = (\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-j\frac{\pi}{12}})^6 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^6 e^{-j\frac{\pi}{12} \cdot 6} = (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})^6 e^{-j\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2^3} e^{-j\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8} e^{-j\frac{\pi}{2}}$

3. 最終的な答え

一つ目の問題: $\sin(\theta + \frac{4\pi}{3})$

二つ目の問題: $\frac{1}{8} e^{-j\frac{\pi}{2}}$