4つの極限を求める問題と、関数がx=0において連続かどうかを調べる問題があります。 (1) $\lim_{x \to 0} \arctan{\frac{1}{x}}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x^5}{4x^2 - x^3}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan{x}}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin{x}}{x}$ また、関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ が $x = 0$ で連続かどうかを調べる問題があります。

1. 問題の内容

4つの極限を求める問題と、関数がx=0において連続かどうかを調べる問題があります。

(1) $\lim_{x \to 0} \arctan{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x^5}{4x^2 - x^3}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan{x}}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin{x}}{x}$

また、関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ が $x = 0$ で連続かどうかを調べる問題があります。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \arctan{\frac{1}{x}}$

$x \to +0$ のとき、$\frac{1}{x} \to +\infty$ なので、$\arctan{\frac{1}{x}} \to \frac{\pi}{2}$

$x \to -0$ のとき、$\frac{1}{x} \to -\infty$ なので、$\arctan{\frac{1}{x}} \to -\frac{\pi}{2}$

右極限と左極限が異なるので、極限は存在しない。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x^5}{4x^2 - x^3}$

分子と分母を$x^2$で割る。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + 3x^3}{4 - x} = \frac{1 + 3(0)^3}{4 - 0} = \frac{1}{4}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan{x}}$

$\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ より、$\frac{x}{\tan{x}} = \frac{x \cos{x}}{\sin{x}} = \frac{x}{\sin{x}} \cos{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ であるから、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin{x}} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin{x}} \lim_{x \to 0} \cos{x} = 1 \cdot 1 = 1$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin{x}}{x}$

$\frac{x - \sin{x}}{x} = 1 - \frac{\sin{x}}{x}$

$-1 \le \sin{x} \le 1$ なので、$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin{x}}{x} \le \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0$ かつ $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ であるから、$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin{x}}{x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin{x}}{x} = 1 - \lim_{x \to \infty} \frac{\sin{x}}{x} = 1 - 0 = 1$

関数 $f(x)$ の連続性について

関数 $f(x)$ が $x = 0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要がある。

$f(0) = 0$ である。

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ であり、この極限は存在しない。

したがって、$f(x)$ は $x = 0$ で連続ではない。

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在しない。

(2) $\frac{1}{4}$

(3) $1$

(4) $1$

関数 $f(x)$ は $x = 0$ で連続ではない。